Задачи на разрезания решаются не по одному только числу клеток. Сначала уточните, где разрешён разрез и что означает «равные части»: одинаковая площадь или совпадение формы при наложении. В этих пяти задачах режем только по сторонам целых клеток, части должны быть связными, а «равные» означает совмещающиеся без растяжения. Поворот разрешён, отражение тоже разрешено, если задача не запрещает его отдельно. Ниже отражение не понадобится: обе показанные пары совмещаются поворотом на 180°.
Возьмём лист из шести клеток. Можно быстро разделить его на две полосы по три клетки, но получится слишком лёгкий ответ. А можно ли получить две одинаковые угловые фигуры? Попытка найти линию разреза превращается в проверку: какие именно клетки входят в каждую часть и почему одна часть совпадёт с другой.
Содержание
Что проверять до разреза
Если фигура содержит N единичных клеток и требуется k равных частей с границами по сетке, в каждой должно быть N/k целых клеток. Когда это не целое число, задача при таком правиле невозможна. Когда целое, это лишь необходимое условие: две части по четыре клетки могут иметь разные очертания. Для ответа «можно» покажите покрытие всех клеток без наложений и пустот, связность частей и конкретное движение, совмещающее их.
Это правило не относится к произвольному разрезу внутри клеток. Например, квадрат из девяти клеток можно разделить пополам прямой через его центр, но нельзя получить две части из целых клеток одинаковой площади: по 4,5 клетки не существует. Поэтому формулировка ограничения меняет ответ. На практике ту же проверку применяют, когда разбивают клетчатый макет на одинаковые детали из квадратных плиток: сначала считают плитки, затем сверяют форму каждой детали.
Пример 1. Прямоугольник 3 × 2
Задача. Разрежьте прямоугольник из трёх столбцов и двух строк по линиям сетки на две одинаковые связные части, причём каждая должна иметь форму буквы Г из трёх клеток.
Назовём столбцы слева направо 1, 2, 3, строки сверху вниз 1, 2. Первой части отдадим клетки (1,1), (2,1), (1,2). Второй останутся (3,1), (2,2), (3,2). У каждой три клетки, и внутри каждой можно перейти из любой клетки в другую через общую сторону. Поверните первую часть на 180°: её клетки точно займут места второй. Линия между разными частями идёт только по сторонам клеток.
Проверка не ограничивается счётом 3 + 3 = 6: приведённые списки не пересекаются и вместе перечисляют все шесть клеток. Совпадение после поворота доказывает равенство формы, а не только площади.
Пример 2. Ступенька в квадрате 4 × 4
Задача. Разделите квадрат 4 × 4 по клеткам на две одинаковые связные части по восемь клеток, не проводя один прямой разрез.
Первая часть А занимает в первой и второй строках столбцы 1–3, а в третьей и четвёртой строках только столбец 1. Остальные клетки образуют Б: столбец 4 в первых двух строках и столбцы 2–4 в нижних двух. Это ступенчатый разрез. Поворот всего квадрата на 180° переводит множество клеток А в множество клеток Б: верхние три клетки каждой из двух строк переходят в нижние три клетки, а нижние одиночные клетки — в верхние одиночные. Значит, части конгруэнтны.
Здесь площадь каждой части равна восьми клеткам, но этого было бы недостаточно без поворота. Если просто набрать любые восемь клеток слева и восемь справа, формы могут оказаться различными. В этой конструкции доказательство опирается на центральную симметрию всей размеченной доски.
Попробуйте решить
В каждой задаче разрез проходит по границам клеток; части связны, а равенство означает совпадение формы. Сначала проверьте число клеток, затем попытайтесь построить части или объяснить невозможность. Раскройте решение после собственной попытки.
1. Нечётная доска
Можно ли разрезать квадрат 3 × 3 на две равные части по линиям клеток? Повороты и отражения частей разрешены.
Показать решение 1
Нет. В квадрате 3 · 3 = 9 целых клеток. Две конгруэнтные части имели бы одинаковую площадь, значит, каждая должна содержать 9/2 = 4,5 клетки. Разрез по сторонам клеток не создаёт половин клеток, поэтому это невозможно ещё до проверки формы. Если разрешить резать внутри клеток, этот довод уже не работает: диагональ квадрата даёт две конгруэнтные треугольные области. Ответ «нет» относится именно к правилу о клеточных границах.
2. Угол из четырёх клеток
Прямоугольник 4 × 2 нужно разрезать на две одинаковые связные фигуры по четыре клетки. Можно ли сделать каждую в форме длинной буквы Г: три клетки подряд и четвёртая под крайней?
Показать решение 2
Да. В верхнем ряду отдайте А столбцы 1, 2, 3, а в нижнем — столбец 1. Остальные клетки принадлежат Б: верхняя клетка столбца 4 и нижние клетки столбцов 2, 3, 4. Это 4 + 4 = 8 различных клеток без пустот. Каждая четвёрка связна общими сторонами. Поворот А на 180° даёт Б: длинная верхняя полоса переходит в нижнюю полосу столбцов 2–4, а нижняя крайняя клетка — в верхний правый угол. Значит, разрез допустим и обе части одинаковы по форме.
3. Удлините тот же приём
Можно ли разрезать прямоугольник 5 × 2 на две одинаковые связные части по пять клеток так, чтобы каждая состояла из четырёх клеток подряд и одной клетки под крайним концом?
Показать решение 3
Да. У А верхний ряд содержит столбцы 1–4, нижний — столбец 1. У Б верхний ряд содержит столбец 5, нижний — столбцы 2–5. Эти два списка содержат по пять клеток, не пересекаются и покрывают все 10 клеток прямоугольника. Оба куска связны. Если повернуть А на 180°, четыре верхние клетки перейдут в нижние столбцы 2–5, а нижняя клетка — в верхний столбец 5, то есть получится Б. Так удлинение прямоугольника сохраняет идею первого примера; одного равенства 5 + 5 = 10 для доказательства формы было бы мало.
Попробуйте вернуться к первой задаче и изменить только одно правило: разрешить разрез через клетки. Теперь препятствие «девять не делится на два» исчезает, хотя площадь каждой части остаётся 4,5 клетки. Это полезная привычка для олимпиадной задачи: сначала назвать разрешённые действия, затем отличить необходимое условие от готового построения. Разрез ленты Мёбиуса исследует уже другую, не клетчатую фигуру. Смежные темы о многоугольниках, площади и решётке собраны в курсе «Планиметрия».