Чтобы решить задачу на смеси и сплавы, считайте не среднее процентов, а массу выбранного вещества. В каждой порции она равна массе порции, умноженной на долю вещества. При простом смешивании складываются и общие массы, и массы этого вещества; новая доля равна их отношению.
Представьте мастерскую, где из двух кусочков металла получают одну заготовку. На ярлыках написаны проценты меди, но мастеру важно знать, сколько меди реально окажется в заготовке. Кусочек в 1 кг с долей меди 20% и кусочек в 9 кг с долей 40% не дадут 30%: тяжёлый кусочек влияет на результат сильнее. Такой же расчёт применим к сухим смесям или растворам, если в условии заданы массы, а не объёмы.
Содержание
Что сохраняется при смешивании
Обозначим массу первой порции через M₁, её массовую долю выбранного вещества через c₁; для второй порции используем M₂ и c₂. Процент сначала превращаем в долю: 20% = 0,20. Тогда в порциях содержится M₁c₁ и M₂c₂ вещества. Если ничего не пролили, не удалили и вещество не вступило в реакцию, получаем баланс:
Масса смеси = M₁ + M₂; масса вещества = M₁c₁ + M₂c₂; доля в смеси = (M₁c₁ + M₂c₂)/(M₁ + M₂).
Это массовые доли. Не складывайте литры растворов как килограммы: объёмы при смешивании не обязаны складываться. Если задача сообщает объёмы и плотности, сначала найдите массы. Для школьной задачи о сплаве здесь предполагается отсутствие потерь материала.
| Часть | Общая масса | Доля меди | Масса меди |
|---|---|---|---|
| Первая | 1 кг | 20% | 0,2 кг |
| Вторая | 9 кг | 40% | 3,6 кг |
| Вместе | 10 кг | 38% | 3,8 кг |
Теперь видно, почему 30% было бы ошибкой: равное среднее допустимо только для порций одинаковой массы. Здесь 3,8 кг меди разделены на 10 кг сплава, поэтому доля равна 38%. Ответ лежит между 20% и 40%; это полезная быстрая проверка при смешивании двух порций без потерь.
Если нужно повторить перевод процентов в доли, используйте разбор процентов; здесь проценты служат входом для баланса масс.
Пример 1. Найти долю вещества после смешивания
Для учебной смеси взяли 3 кг материала с 10% красного пигмента и 2 кг материала с 25% такого же пигмента. Какова доля пигмента в общей смеси?
В первой порции 3 · 0,10 = 0,30 кг пигмента, во второй 2 · 0,25 = 0,50 кг. Всего его 0,80 кг, а всей смеси 3 + 2 = 5 кг. Значит, 0,80 / 5 = 0,16 = 16%. Ответ: 16%. Проверка: 5 · 0,16 = 0,80 кг возвращает рассчитанную массу пигмента.
| Порция | Вся масса | Пигмент |
|---|---|---|
| Первая | 3 кг | 0,30 кг |
| Вторая | 2 кг | 0,50 кг |
| Смесь | 5 кг | 0,80 кг |
Пример 2. Сколько нужно добавить
Есть 4 кг сплава с 15% меди. К нему добавляют сплав с 35% меди, чтобы получить 25%. Сколько килограммов второго сплава потребуется?
Пусть добавили x кг. До смешивания меди 4 · 0,15 = 0,6 кг и 0,35x кг. После смешивания масса сплава 4 + x, а меди в нём должно быть 0,25(4 + x). Запишем баланс 0,6 + 0,35x = 0,25(4 + x). Раскроем скобки: 0,6 + 0,35x = 1 + 0,25x, значит 0,10x = 0,4 и x = 4.
Ответ: 4 кг. Проверка без уравнения: меди стало 0,6 + 1,4 = 2 кг, всей смеси 8 кг; 2/8 = 25%. Тут массы равны, поэтому 25% совпадает и с серединой между 15% и 35%, но это следствие ответа, а не общий способ решения.
Когда вода или чистое вещество меняет знаменатель
Если к смеси добавляют чистый компонент, его массу прибавляют и к общей массе, и к массе отслеживаемого вещества. Если добавляют компонент без этого вещества, меняется только общая масса. Например, в 6 кг смеси с 20% пигмента есть 1,2 кг пигмента. После добавления 2 кг бесцветной основы пигмента по-прежнему 1,2 кг, а всего материала 8 кг: доля станет 1,2/8 = 15%. Нельзя записывать 20% − 2%: добавили килограммы, а не процентные пункты.
При удалении однородной части смеси вместе с ней уходят и общий материал, и вещество в прежней доле. Если вещество выпало в осадок, испарился растворитель или произошла реакция, нужен другой баланс по условию; механически применять формулу двух неизменных порций нельзя.
Проверьте себя на трёх разных ходах
Сначала считайте массу отслеживаемого вещества отдельно. Затем сравните её с общей массой и только после этого переводите долю в проценты. Ответ и разбор ошибки раскрываются клавишей Enter на заголовке задачи или нажатием.
Задача 1. Смешали 2 кг сплава с 30% меди и 3 кг с 20% меди. Какова доля меди?
Решение: меди 2 · 0,30 + 3 · 0,20 = 0,6 + 0,6 = 1,2 кг; всего 5 кг. 1,2/5 = 0,24. Ответ: 24%. Если получилось 25%, вы усреднили проценты без учёта масс: 3 кг второго сплава весят больше 2 кг первого.
Задача 2. К 5 кг смеси с 12% пигмента добавили бесцветную основу. Доля стала 10%. Сколько килограммов основы добавили?
Решение: пигмента было и осталось 5 · 0,12 = 0,6 кг. Для доли 10% общая масса должна быть 0,6/0,10 = 6 кг. Добавили 6 − 5 = 1 кг. Ответ: 1 кг. Если вышло 0,2 кг, вы вычли проценты как массу; проверьте обратной подстановкой: 0,6/6 = 10%.
Задача 3. Сколько чистой меди добавить к 3 кг сплава с 20% меди, чтобы получить 40%?
Решение: пусть добавили x кг чистой меди. Тогда (0,6 + x)/(3 + x) = 0,40. Получаем 0,6 + x = 1,2 + 0,4x, откуда 0,6x = 0,6 и x = 1 кг. Ответ: 1 кг. Проверьте: меди 1,6 кг в 4 кг сплава, то есть 40%. Если вы прибавили x только к числителю, забыта новая общая масса.
Главный контроль для любой задачи: выпишите отдельно «вся масса» и «масса выбранного вещества» до и после действия. Такая запись показывает, что действительно сохраняется, а что меняется.