Коллинеарные векторы лежат на одной или параллельных прямых: их направления совпадают либо противоположны. Для двух ненулевых векторов это означает, что один получается из другого умножением на одно число. На плоскости по координатам коллинеарность проверяют равенством a₁b₂ − a₂b₁ = 0, не деля ни на одну координату.
Что связывает координаты
Пусть a=(a₁;a₂), b=(b₁;b₂), причём оба вектора ненулевые. Если b=k·a, то сразу выполняются два равенства: b₁=k·a₁ и b₂=k·a₂. Важно, что k одно и то же, а не подобранное отдельно для каждой координаты. При k>0 направления совпадают, при k<0 противоположны. Равная длина сама по себе ничего не доказывает: горизонтальный и вертикальный векторы могут иметь одинаковую длину, но не быть коллинеарными.
Почему один коэффициент важен в физике? Если две силы действуют вдоль одной прямой, их векторные записи можно сравнить по направлению и модулю; при изменении только модуля обе координаты умножаются на один коэффициент. Это можно представить на схеме сил или перемещений: сначала сравнить направления стрелок, затем их модули. Однако рисунок лишь помогает увидеть отношение. Если задача задана координатами, ответ следует из координат и из указанных в условии векторов, а не из того, насколько похожи нарисованные стрелки.
Когда a₁=0, попытка вычислить b₁/a₁ не имеет смысла. Поэтому вместо двух дробей используем определитель D=a₁b₂−a₂b₁. Из b=k·a следует D=a₁(ka₂)−a₂(ka₁)=0. Обратно, если a ненулевой и D=0, можно взять ненулевую координату a: соответствующее отношение определяет k, а равенство D=0 гарантирует, что тот же k подходит другой координате. Так получаем точный признак на плоскости.
От множителя к признаку
Пример 1. a=(0;5), b=(0;−15). Делить первые координаты нельзя: получилось бы 0/0. Вторые дают коэффициент −3, и проверка обеих координат проходит: (0;−15)=−3·(0;5). Определитель тоже равен нулю: 0·(−15)−5·0=0. Векторы ненулевые, коллинеарны и противоположно направлены.
Нулевая координата не помешала решению. Теперь возьмём случай, где ответ нельзя угадать по знакам отдельных координат.
Пример 2. a=(4;−2), b=(−6;3). Из первой координаты выходит k=−6/4=−1,5; проверяем вторую: −1,5·(−2)=3. Значит, b=−1,5a. Для контроля D=4·3−(−2)·(−6)=12−12=0. Длина b в 1,5 раза больше длины a, а направление противоположно. Именно общий коэффициент, а не равенство длин, решает задачу.
Если определитель не равен нулю, общего коэффициента нет. Например, для (2;3) и (3;2) он равен 2·2−3·3=−5. Это неколлинеарная пара. В школьной алгебраической конвенции нулевой вектор считают коллинеарным любому: при a≠0 нулевой b получается как b=0·a; если a=0 и b≠0, записывают a=0·b, но нельзя представлять ненулевой b как k·a. При этом у нулевого вектора нет направления, поэтому «сонаправлен» и «противоположно направлен» к нему не применяют. В некоторых геометрических формулировках направление обсуждают только для ненулевых векторов; проверьте определение в вашем учебнике.
Проверьте себя
Сначала найдите общий множитель или сравните два произведения на бумаге. Затем раскройте решение каждой задачи. Это самостоятельная практика, а не калькулятор: произвольные числа здесь не вводятся и автоматической проверки нет.
Задача 1. Коллинеарны ли (3;−1) и (−9;3)?
Ответ: да, направления противоположны. Умножение (3;−1) на −3 даёт (−9;3). Проверка по определителю: 3·3−(−1)·(−9)=9−9=0. Если вы получили разные коэффициенты, проверьте знак при умножении двух отрицательных чисел.
Задача 2. Коллинеарны ли (2;0) и (0;2)?
Ответ: нет. Определитель равен 2·2−0·0=4. Векторы имеют одинаковую длину, но один горизонтален, другой вертикален. Ошибку «одинаковая длина значит коллинеарны» исправляет проверка направления или определителя.
Задача 3. Коллинеарны ли (0;0) и (4;−7)? Можно ли назвать их сонаправленными?
Ответ: в алгебраической школьной конвенции коллинеарны, но не сонаправлены. Нулевой вектор получается умножением (4;−7) на 0; его собственное направление не определено. Если вы пытались найти k из (4;−7)=k·(0;0), поменяйте порядок: ненулевой вектор из нулевого умножением не получится.
Для базы полезно освежить понятие вектора; отдельно длина вектора помогает не смешивать модуль и направление.
От проверки пары к действиям с векторами. В существующем курсе «Векторы» можно перейти к линейным комбинациям. Отдельный урок или автоматическую проверку именно этих трёх задач ссылка не обещает.