Короткий ответ. Длина вектора (x,y,z) равна √(x²+y²+z²); для AB сначала вычтите координаты начала из координат конца. Длина всегда неотрицательна.
Если вектор задан двумя точками, сначала найдите его компоненты вычитанием координат, а уже затем применяйте теорему Пифагора.
Определение и главное правило
Вектор задаёт направление и величину перемещения, а его длина описывает только величину. Стрелки вправо на 5 единиц и влево на 5 единиц — разные векторы одной длины. Компоненты вычисляются как «конец минус начало»; нулевой вектор имеет длину 0.
Координаты и две точки
Для v=(x,y) модуль равен √(x²+y²), для v=(x,y,z) — √(x²+y²+z²). На плоскости модули компонент задают длины взаимно перпендикулярных отрезков. Когда обе компоненты ненулевые, они образуют катеты прямоугольного треугольника; результатом вычисления длины является число, а не вектор.
Для A(x₁,y₁,z₁) и B(x₂,y₂,z₂) сначала находят AB=(x₂−x₁,y₂−y₁,z₂−z₁). Перестановка A и B меняет знаки компонент, но не длину. Длина равна нулю только у нулевого вектора; |λv|=|λ|·|v|.
Почему координаты складываются по отдельности
Вектор перемещения показывает, насколько меняется каждая координата. Если сначала сдвинуться на (3;4), а затем на (−1;2), итоговое смещение будет (3−1;4+2)=(2;6). По горизонтали и вертикали изменения накапливаются независимо. Это объясняет правило сложения векторов, но не даёт права складывать их длины: длина итогового вектора в общем случае не равна сумме длин двух перемещений.
Как найти длину
- Для готовых компонент сразу возведите каждую в квадрат.
- Для точек A и B сначала вычислите AB: из координат B вычтите координаты A.
- Сложите квадраты компонент и извлеките квадратный корень.
- Для проверки возведите ответ в квадрат: должна получиться сумма квадратов компонент.
Примеры
Пример 1. Для v=(3,4,0) получаем |v|=√(3²+4²+0²)=√25=5. Проверка: квадрат длины 25 равен сумме квадратов компонент.
Пример 2. Для A(−2,1,3) и B(1,5,3) вектор AB=(1−(−2),5−1,3−3)=(3,4,0), поэтому |AB|=5. Сначала обязательно находят компоненты «конец минус начало».
Частые ошибки
- Складывают компоненты вместо их квадратов.
- Для AB вычитают координаты разных точек в разном порядке. Во всех компонентах порядок должен быть «B минус A».
- Записывают в ответе вектор. Длина вектора — неотрицательное число.
Задачи для самопроверки
1. Найдите длину вектора v=(−5,12).
Ответ: 13. |v|=√((−5)²+12²)=√169=13. Если под корнем получилось 119, квадрат отрицательной компоненты был вычислен без скобок.
2. Даны A(2,−1) и B(−2,2). Найдите |AB|.
Ответ: 5. AB=(−4,3), поэтому |AB|=√(16+9)=5. Если получились компоненты (4,3), проверьте единый порядок вычитания; длина всё равно должна быть 5.
3. При каком t длина вектора (t,0) равна 7?
Ответ: t=7 или t=−7. √(t²)=|t|, поэтому подходят два значения. Потеря отрицательного ответа означает, что модуль заменили на t.
Перемещение и пройденный путь
На практике: перемещение робота
Пусть робот переместился на 3 метра вправо и на 4 метра вперёд по двум перпендикулярным направлениям. Длина суммарного перемещения равна 5 м, но путь при движении сначала вдоль одного направления, затем вдоль другого равен 7 м. Это разные величины: модуль вектора соединяет начальную и конечную точки, а путь зависит от маршрута.
| Что измеряем | Расчёт | Результат |
|---|---|---|
| Путь по двум участкам | 3+4 | 7 м |
| Модуль перемещения | √(3²+4²) | 5 м |
Если путаются направление и длина, вернитесь к определению вектора. Следующая операция — скалярное произведение: оно связывает длины двух векторов с углом между ними. Для выбора занятий посмотрите программу курса «Векторы».