В задаче на работу неизвестно не «сколько сделал человек», а какая доля работы сделана за время. Если всю работу принять за 1, то производительность равна 1 ÷ время, а совместная производительность — сумме долей за одинаковый час. Так можно составить уравнение без угадывания.
Эта модель нужна не только в учебнике: ею планируют срок, когда несколько людей берут части одного заказа. Математика не говорит, что реальная команда всегда работает с постоянной скоростью; в задаче это отдельное допущение, записанное в условии.
Как перевести условие в уравнение
- Выберите всю работу: 1 заказ, 1 бассейн или 1 поле.
- Если исполнитель делает работу за a часов, за один час он делает 1/a.
- За t часов он сделает t/a. Сложите доли всех исполнителей и приравняйте к выполненной части работы.
Единицы здесь помогают не запутаться: «1/6 работы за час» — производительность, а «6 часов» — время. Их нельзя складывать как одинаковые величины.
Пример: двое работают вместе
Первый мастер выполняет заказ за 6 часов, второй — за 9 часов. За час они делают соответственно 1/6 и 1/9 заказа. Вместе: 1/6 + 1/9 = 3/18 + 2/18 = 5/18. Значит, время на один заказ равно 1 ÷ (5/18) = 18/5 часа, то есть 3 часа 36 минут.
Если интерактив недоступен, посчитайте время вместе по формуле 1 ÷ (1/a + 1/b), где a и b — время каждого исполнителя на всю работу. Для 6 и 9 часов получается 18/5 часа. Проверьте: 18/5 × (1/6 + 1/9) = 1 работа.
Если один начал раньше
Пусть первый выполняет работу за 4 часа и работал один 1 час. Он уже сделал 1/4, осталось 3/4. Второй выполняет работу за 6 часов; после его прихода вместе они делают 1/4 + 1/6 = 5/12 за час. На остаток нужно (3/4) ÷ (5/12) = 9/5 часа, или 1 час 48 минут. В уравнении это выглядит так: 1/4 + t/4 + t/6 = 1.
Проверка здравого смысла
- Вместе не медленнее самого быстрого. Если ответ больше 6 часов в первом примере, перепутаны дроби.
- Одинаковые работы. Нельзя складывать производительности, если один красит стену, а другой собирает другой заказ.
- Доли не проценты без основания. 1/6 — доля всей работы за час; она относится к выбранной единице «вся работа».
Три задачи для самостоятельного решения
- Первый насос наполняет бассейн за 8 ч, второй — за 12 ч. За сколько часов наполнят вместе?
- Мастер делает заказ за 5 ч. Он работал один 2 ч, затем к нему присоединился мастер, который делает такой же заказ за 10 ч. Сколько времени работали вдвоём?
- Два одинаковых принтера печатают тираж за 3 ч. За сколько часов печатает один?
Ответы и как восстановить ход
- 1/8+1/12=5/24, поэтому 24/5 ч = 4 ч 48 мин.
- После 2 ч сделано 2/5, осталось 3/5. Вместе делают 1/5+1/10=3/10 за час; время вдвоём: (3/5)÷(3/10)=2 ч.
- Два одинаковых дают 1/3 работы за час, значит один даёт 1/6 и печатает за 6 ч.
Для похожих моделей полезна статья о скорости, времени и расстоянии: там та же идея «величина за единицу времени», но вместо доли работы считают расстояние. Если при сложении 1/6 и 1/9 теряется общий знаменатель, сначала повторите виды дробей и правила действий.
Переведите текст задачи в линейное уравнение
В программе по линейным выражениям и уравнениям можно тренировать перевод условий в равенства и проверять решение по шагам. Это смежная тема: курс не обещает отдельный урок именно о совместной работе.