Биквадратные уравнения: замена t=x² и отбор корней

Статья Математика
от

Биквадратные уравнения — это уравнения вида ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0. Их решают заменой t = x²: получают квадратное уравнение at² + bt + c = 0, затем оставляют только t ≥ 0 и возвращаются к x. Здесь ищем действительные корни.

Главная идея проста: x⁴ = (x²)². Поэтому степени 4 и 2 превращаются в степени 2 и 1 одной новой переменной. Почему после замены нужен отдельный отбор? Квадрат действительного числа не бывает отрицательным, поэтому отрицательное t не соответствует ни одному действительному x.

Алгоритм решения биквадратного уравненияЧетыре шага: замена t равно x в квадрате, решение квадратного уравнения, отбор неотрицательных t и возврат к x.

ax⁴+bx²+c=0t = x²at²+bt+c=0решить по tоставитьt ≥ 0x²=tвернуться к x

Замена упрощает степень, а условие t ≥ 0 отвечает за допустимость действительных корней.

Алгоритм без потери корней

  1. Проверьте форму ax⁴ + bx² + c = 0 и условие a ≠ 0.
  2. Введите t = x². Тогда t ≥ 0.
  3. Решите квадратное уравнение at² + bt + c = 0.
  4. Отбросьте отрицательные значения t.
  5. Для каждого t > 0 запишите x = ±√t; для t = 0 запишите единственный корень x = 0.
  6. Подставьте найденные x в исходное уравнение.

Отбор t ≥ 0 нельзя переносить на потом как формальность: отрицательный корень квадратного уравнения по t не даёт действительного x. И ещё одна типичная ошибка — считать, что t = 0 даёт два корня ±0. Числа +0 и −0 совпадают, поэтому корень один.

Сколько корней x даёт значение tОтрицательное t не даёт действительных корней, нулевое даёт один корень, положительное даёт два противоположных корня.

t < 0x² = t невозможно0 действительных xt = 0x = 01 действительный xt > 0x = ±√t2 действительных x

Один корень по t может дать ноль, один или два действительных корня исходного уравнения.

Два разобранных примера

Пример 1. Решите x⁴ − 5x² + 4 = 0. Положим t = x². Получим t² − 5t + 4 = 0, то есть (t − 1)(t − 4) = 0. Оба значения допустимы: t = 1 или t = 4. Возвращаемся к x: x² = 1 даёт x = −1 и x = 1; x² = 4 даёт x = −2 и x = 2. Ответ: x = −2, −1, 1, 2.

Пример 2. Решите 2x⁴ + x² − 3 = 0. После замены t = x² получаем 2t² + t − 3 = (2t + 3)(t − 1) = 0. Отсюда t = −3/2 или t = 1. Значение −3/2 отбрасываем, потому что t = x² ≥ 0. Из x² = 1 получаем x = −1 и x = 1. Подстановка даёт 2·1 + 1 − 3 = 0.

Проверьте решение в тренажёре

Тренажёр показывает оба этапа и не скрывает отбор t. Введите коэффициенты a, b и c; после ошибки можно исправить данные и повторить расчёт.

Тренажёр замены t = x²

Введите коэффициенты уравнения ax⁴ + bx² + c = 0. Тренажёр решит квадратное уравнение относительно t, отберёт t ≥ 0 и вернётся к x.

До 30 значащих цифр; модуль ненулевого коэффициента от 10⁻³⁰⁰ до 10³⁰⁰. Корни показываются численно, с 12 значащими цифрами.

Нажмите «Решить и объяснить».

Если виджет недоступен, используйте тот же письменный алгоритм: t = x², квадратное уравнение по t, отбор t ≥ 0, затем x² = t.

Три задачи для самостоятельной проверки

Задача 1. Решите x⁴ − 13x² + 36 = 0.

Ответ: x = −3, −2, 2, 3. После замены: t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9), поэтому t = 4 или 9, а x = ±2 или ±3.

Задача 2. Решите x⁴ + 5x² + 4 = 0 в действительных числах.

Действительных корней нет. Уравнение t² + 5t + 4 = (t + 1)(t + 4) даёт t = −1 и t = −4; оба значения нарушают условие t = x² ≥ 0.

Задача 3. Решите 3x⁴ − 12x² = 0.

Ответ: x = −2, 0, 2. После замены 3t² − 12t = 3t(t − 4), поэтому t = 0 или 4. Значение t = 0 даёт один корень x = 0, а t = 4 даёт x = ±2.

Что проверить перед ответом

Сверьте четыре вещи: замена охватывает обе степени; отрицательные t отброшены; для положительного t записаны оба знака; нулевой корень не посчитан дважды. Затем подставьте корни в исходное уравнение — это обнаруживает потерянный знак или арифметическую ошибку.

Перейти к курсу «Квадратичные функции». В курсе есть квадратные уравнения и разложение на множители; отдельное упражнение на биквадратные уравнения не обещается.

Оставить комментарий