Свойства логарифмов: таблица формул, ОДЗ и примеры

Основные свойства логарифмов: log_a(xy) = log_ax + log_ay, log_a(x/y) = log_ax − log_ay и log_a(x^k) = klog_ax. Формула смены основания: log_ax = log_bx / log_ba.

Во всех формулах a > 0, a ≠ 1; аргументы логарифмов должны быть положительными. Для суммы и разности аргументов похожего правила нет.

Эти свойства превращают умножение в сложение, деление — в вычитание, а степень — в множитель. До появления электронных калькуляторов именно на этом принципе работали логарифмические таблицы и линейки. Сейчас формулы нужны прежде всего для упрощения выражений, решения логарифмических и показательных уравнений и вычислений с нестандартным основанием.

Что нужно уметь перед этой темой?

Материал рассчитан на 10–11 класс и опирается на четыре понятия. Степень: a^m·aⁿ = a^m+n, a^m/aⁿ = a^m−n и (a^m)^k = a^mk. Функция и ОДЗ: выражение рассматривают только там, где оно определено. Модуль: |x| — неотрицательное расстояние от x до нуля, поэтому √(x²) = |x|. Логарифм: log_ax = m означает a^m = x. Обозначения lg x и ln x — логарифмы по основаниям 10 и e соответственно. Если эти связи незнакомы, сначала повторите свойства степеней и определение логарифма.

Что проверить до преобразования?

В вещественных числах логарифм log_ax существует при a > 0, a ≠ 1 и x > 0. Поэтому сначала записывают ОДЗ исходного выражения, а уже затем применяют свойства. Преобразование не должно ни потерять исходное ограничение, ни добавить недопустимые значения.

Есть важная тонкость. Выражение log_a(xy) определено, когда xy > 0, то есть x и y могут быть одновременно отрицательными. Но правая часть log_ax + log_ay требует x > 0 и y > 0 по отдельности. Поэтому раскрывать логарифм произведения на всей области xy > 0 нельзя. Формулу применяют при положительных множителях либо отдельно учитывают ОДЗ.

Таблица свойств логарифмов

Свойство	Формула	Условия	Короткий пример
Логарифм единицы	loga1 = 0	a > 0, a ≠ 1	log51 = 0
Логарифм основания	logaa = 1	a > 0, a ≠ 1	log77 = 1
Произведение	loga(xy) = logax + logay	x > 0, y > 0	log2(8·4) = 3 + 2 = 5
Частное	loga(x/y) = logax − logay	x > 0, y > 0	log2(32/8) = 5 − 3 = 2
Положительное основание в степени	loga(xk) = klogax	x > 0; xk определено	log2(8²) = 2·3 = 6
Смена основания	logax = logbx / logba	b > 0, b ≠ 1	log28 = lg8/lg2 = 3

Чему равен логарифм произведения?

Для положительных x и y логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

log_a(xy) = log_ax + log_ay.

Пусть log_ax = m и log_ay = n. Тогда x = a^m, y = aⁿ, а xy = a^m·aⁿ = a^m+n. Значит, log_a(xy) = m + n. Например, log₂(8·4) = log₂8 + log₂4 = 3 + 2 = 5. Проверка: 8·4 = 32 = 2⁵.

Формула работает и справа налево: сумму логарифмов с одинаковым основанием можно объединить. Например, log₃5 + log₃9 = log₃45. Перед объединением нужно убедиться, что оба исходных аргумента положительны.

Чему равен логарифм частного?

Для x > 0 и y > 0 логарифм частного равен разности:

log_a(x/y) = log_ax − log_ay.

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: a^m/aⁿ = a^m−n. Поэтому log₃(81/9) = log₃81 − log₃9 = 4 − 2 = 2. Частный случай: log_a(1/x) = −log_ax при x > 0, потому что log_a1 = 0.

Как вынести степень из логарифма?

Если x > 0, показатель степени можно вынести множителем:

log_a(x^k) = klog_ax.

Например, log₅(25⁴) = 4log₅25 = 4·2 = 8. Для корня получаем log_a√x = (1/2)log_ax при x > 0, потому что √x = x^1/2.

Если переменная может быть отрицательной, модуль нельзя забывать. При x ≠ 0 выражение x² положительно, поэтому log₅(x²) = 2log₅|x|. Запись 2log₅x была бы определена только при x > 0 и потеряла бы отрицательную часть ОДЗ исходного выражения. Аналогично, для целого n верно log_a(x²ⁿ) = 2nlog_a|x| при x ≠ 0.

Что такое переход к новому основанию?

Логарифм можно выразить через любое допустимое основание b:

log_ax = log_bx / log_ba, где b > 0 и b ≠ 1.

Формула следует из равенства x = a^log_ax. Логарифмируя обе части по основанию b, получаем log_bx = log_ax·log_ba, откуда и выражаем log_ax. На калькуляторе обычно используют lg или ln: log₂7 = ln7/ln2 ≈ 2,807. В числителе и знаменателе обязательно должны стоять логарифмы одного основания.

Разобранные примеры

Пример 1. Собрать сумму логарифмов

Вычислим log₃9 + log₃27. Оба аргумента положительны, поэтому объединяем сумму: log₃(9·27) = log₃243 = 5, так как 3⁵ = 243. Прямая проверка даёт тот же результат: 2 + 3 = 5.

Пример 2. Упростить выражение с переменной

Упростим log₂(x − 1) + log₂(x + 1). Сначала ОДЗ: x − 1 > 0 и x + 1 > 0, значит x > 1. Затем объединяем: log₂((x − 1)(x + 1)) = log₂(x² − 1). Итог нужно записать вместе с ограничением x > 1. Условие x² − 1 > 0 было бы шире и ошибочно добавило бы x < −1, которого не было в исходной сумме.

Пример 3. Решить показательное уравнение

Пусть 2ⁿ = 100. Логарифмируем обе части: lg(2ⁿ) = lg100. Выносим показатель: n·lg2 = 2. Поэтому n = 2/lg2 ≈ 6,644. Проверка оценкой: 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, значит найденное значение действительно лежит между 6 и 7.

Пример 4. Применить смену основания

Вычислим log₄64 через логарифмы по основанию 2: log₄64 = log₂64 / log₂4 = 6/2 = 3. Проверка по определению: 4³ = 64.

Каких свойств не существует?

В общем случае неверны равенства log_a(x + y) = log_ax + log_ay и log_a(x − y) = log_ax − log_ay. Контрпример для суммы: log₂(1 + 1) = 1, но log₂1 + log₂1 = 0. Для разности возьмём 4 − 2: log₂2 = 1, тогда как log₂4 − log₂2 = 2 − 1 = 1 — здесь значения совпали случайно; при 8 − 4 слева 2, а справа 3 − 2 = 1. Одного допустимого контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть предполагаемую формулу.

Нельзя также сокращать логарифмы как обычные дроби или распределять основание по слагаемым. Если преобразование не следует из определения либо из таблицы свойств, его лучше проверить числовым примером.

Алгоритм упрощения логарифмического выражения

1. Запишите ОДЗ всех логарифмов исходного выражения.
2. Проверьте, совпадают ли основания логарифмов.
3. Найдите произведение, частное или степень внутри аргумента либо сумму и разность логарифмов с одинаковым основанием.
4. Примените только подходящее свойство, не расширяя исходную ОДЗ.
5. Вычислите известные логарифмы и сократите выражение.
6. Проверьте результат обратным переходом к степени или подстановкой допустимого числа.

Для графиков, монотонности и зависимости от основания смотрите материал про логарифмическую функцию. Если нужно повторить основу вывода формул, вернитесь к свойствам степеней.

Где свойства логарифмов работают в жизни?

Логарифмические шкалы удобно описывают величины, которые меняются в тысячи и миллионы раз. pH связан с отрицательным десятичным логарифмом активности ионов водорода. Уровень звука в децибелах выражают через логарифм отношения интенсивностей. Разность магнитуд землетрясений на единицу соответствует десятикратному отношению амплитуд сейсмических волн.

Свойство степени используют в моделях роста и убывания. Например, чтобы найти срок удвоения вклада, из уравнения (1 + p)ⁿ = 2 получают nlog(1 + p) = log2. Точно так же находят период распада, время роста популяции и показатель сложности некоторых алгоритмов. Формула не заменяет модель, но позволяет выразить неизвестное, стоящее в показателе степени.

Немного истории

Джон Непер опубликовал описание логарифмов в 1614 году, а Генри Бригс вскоре составил удобные таблицы десятичных логарифмов. До распространения электронных калькуляторов таблицы и логарифмические линейки помогали инженерам, астрономам и штурманам заменять длинное умножение сложением. Исторический способ вычислений устарел, но свойства, на которых он основан, по-прежнему используются в алгебре и прикладных моделях.

Почему логарифмы «слышат» уши?

Логарифмическая шкала описывает не абсолютную разницу, а отношение величин. Это удобно для звука: диапазон воспринимаемых интенсивностей огромен, поэтому уровень выражают в децибелах. Увеличение уровня интенсивности на 10 дБ соответствует десятикратному росту интенсивности, хотя субъективная громкость не обязана возрастать ровно в десять раз. Здесь логарифм сжимает широкий диапазон значений, а его свойства позволяют сравнивать отношения через разности уровней.

Задачи для самопроверки

1. Вычислите log₃9 + log₃27.

Объединяем: log₃(9·27) = log₃243 = 5. Можно проверить напрямую: 2 + 3 = 5.

2. Вычислите log₂40 − log₂5.

Разность превращаем в логарифм частного: log₂(40/5) = log₂8 = 3.

3. Упростите log₅(x²) при x ≠ 0.

Поскольку x может быть отрицательным, ответ равен 2log₅|x|. Без модуля правая часть не была бы определена при x < 0.

4. Выразите log₂10 через натуральный логарифм.

По формуле смены основания log₂10 = ln10/ln2.

5. Верно ли log₂(3 + 5) = log₂3 + log₂5?

Нет. Слева log₂8 = 3, справа log₂15. Свойство суммы аргументов отсутствует.

6. Упростите log₇49 + log₇(1/7).

log₇49 = 2, а log₇(1/7) = −1. Сумма равна 1. Другой способ: log₇(49/7) = log₇7 = 1.

Частые ошибки

• Не записали ОДЗ. После объединения логарифмов получилась более широкая область, и в ответ попали посторонние значения.
• Разложили логарифм суммы. Формулы существуют для произведения и частного, но не для x + y и x − y.
• Потеряли модуль. Из log_a(x²) при x ≠ 0 получают 2log_a|x|, а не 2log_ax.
• Смешали основания. В формуле перехода числитель и знаменатель должны быть логарифмами по одному выбранному основанию.
• Перепутали направление. log_a(x/y) — это log_ax − log_ay, а не наоборот.

Частые вопросы

Чему равен логарифм произведения?

При x > 0 и y > 0 логарифм произведения равен сумме логарифмов: log_a(xy) = log_ax + log_ay. Например, log₂(8·4) = 3 + 2 = 5.

Как вынести степень из логарифма?

При положительном x действует формула log_a(x^k) = klog_ax. Если под чётной целой степенью стоит переменная, которая может быть отрицательной, учитывают модуль: log_a(x²) = 2log_a|x| при x ≠ 0.

Чему равен логарифм единицы?

log_a1 = 0, потому что a⁰ = 1. log_aa = 1, потому что a¹ = a. В обоих случаях a > 0 и a ≠ 1.

Как перейти к новому основанию логарифма?

Используйте формулу log_ax = log_bx / log_ba. Обычно выбирают b = 10 или b = e, чтобы посчитать значение через кнопки lg или ln на калькуляторе.

Можно ли сложить аргументы двух логарифмов?

Нет. Сумма log_ax + log_ay превращается в log_a(xy), то есть аргументы перемножаются. Равенство с log_a(x + y) в общем случае неверно.

При каких условиях верны свойства логарифмов?

Основание должно быть положительным и не равным единице. Каждый отдельный аргумент логарифма обязан быть строго положительным. Дополнительные ограничения зависят от исходного выражения и сохраняются после преобразования.