Если коротко. Смежные углы имеют общую вершину и общую сторону, а две другие стороны являются противоположными лучами. Поэтому их сумма равна 180°: α + β = 180°. Вертикальные углы лежат напротив друг друга при пересечении двух прямых, не имеют общей стороны и равны.
Какие углы называются смежными
Два угла называются смежными, если одновременно выполнены три условия:
- у углов общая вершина;
- есть одна общая сторона;
- две другие стороны являются противоположными лучами, то есть лежат на одной прямой и направлены в разные стороны.
Последнее условие означает, что внешние стороны пары образуют развёрнутый угол. Поэтому одной суммы 180° для вывода о смежности недостаточно. Например, два отдельно нарисованных угла 70° и 110° дают в сумме 180°, но смежными не являются: у них нет общей стороны и нужного расположения.
Почему сумма смежных углов равна 180°
Противоположные лучи образуют развёрнутый угол величиной 180°. Общая сторона делит его на две части α и β, поэтому α + β = 180°. Если известен один угол, второй находится вычитанием: β = 180° − α. Формула применима именно к смежной паре, а не к любым двум углам на чертеже.
Пример. Если α = 47°, то β = 180° − 47° = 133°. Проверка: 47° + 133° = 180°.
Смежные углы равны или нет?
Обычно смежные углы не равны: возможны пары 30° и 150°, 45° и 135°, 80° и 100°. Равенство возможно только при 90° и 90°. Действительно, если α = β, то из α + β = 180° получаем 2α = 180°, откуда α = β = 90°. В этом случае прямые перпендикулярны.
Для невырожденной пары, где каждый угол больше 0° и меньше 180°, если один смежный угол острый, второй будет тупым. Если один тупой, второй острый. Нулевой и развёрнутый углы в обычных школьных задачах не рассматривают как невырожденную пару, если это отдельно не оговорено.
Какие углы называются вертикальными
При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Два угла являются вертикальными, если стороны одного служат противоположными лучами к сторонам другого. Такая пара находится напротив, имеет общую вершину, но не имеет общей стороны. Соседняя пара, напротив, имеет общую сторону и является смежной.
Термин не означает, что углы обязательно направлены вверх и вниз. Название связано с общей вершиной. Если повернуть весь чертёж, вертикальные пары останутся вертикальными.
Почему вертикальные углы всегда равны
Равенство следует из свойства смежных углов. Пусть углы α и γ вертикальные, а β — соседний с каждым из них. Тогда α + β = 180° и γ + β = 180°. Значит, α + β = γ + β. Вычитаем β из обеих частей и получаем α = γ. Аналогично равна вторая вертикальная пара.
Это доказательство важно: равенство не зависит от того, насколько аккуратно или в каком масштабе выполнен рисунок. Каждый из двух вертикальных углов дополняет один и тот же соседний угол до 180°, поэтому значения обязаны совпасть.
Пример. Если один из четырёх углов равен 38°, вертикальный ему тоже равен 38°. Каждый соседний угол равен 180° − 38° = 142°. По кругу получаются углы 38°, 142°, 38°, 142°; их общая сумма равна 360°.
Чем смежные углы отличаются от вертикальных
| Признак | Смежные углы | Вертикальные углы |
|---|---|---|
| Расположение | Находятся рядом | Находятся напротив |
| Общие элементы | Общая вершина и одна сторона | Только общая вершина |
| Главное свойство | Сумма равна 180° | Углы равны |
| При пересечении двух прямых | Четыре пары | Две пары |
| Рабочая формула | α + β = 180° | α = γ |
Один и тот же угол входит в две разные связи: он равен углу напротив и в сумме с каждым соседом даёт 180°. Но одна пара не может одновременно быть и смежной, и вертикальной: у смежной пары есть общая сторона, у вертикальной её нет.
Как выбрать свойство по рисунку
- Проверьте стороны. Есть общая сторона, а две другие стороны — противоположные лучи? Тогда углы смежные, используйте сумму 180°.
- Посмотрите на положение. Общей стороны нет, а углы лежат напротив при пересечении двух прямых? Тогда они вертикальные, используйте равенство.
- Не делайте вывод только по числам. Равенство углов ещё не доказывает, что они вертикальные, а сумма 180° — что они смежные.
Как читать геометрический чертёж
Не доверяйте внешнему виду рисунка: чертёж может быть выполнен не в масштабе. Ищите обозначения прямых, лучей и точек. Если точки A, O и C лежат на одной прямой и O находится между A и C, лучи OA и OC противоположны. Тогда любой луч OB между ними делит развёрнутый угол AOC на смежные углы ∠AOB и ∠BOC.
Если прямые AC и BD пересекаются в O, причём O лежит между A и C и между B и D, то ∠AOB и ∠COD — вертикальные: стороны OA и OC противоположны, как и OB и OD. Углы ∠AOB и ∠BOC — смежные, потому что у них общая сторона OB, а OA и OC — противоположные лучи.
Как решать задачи на смежные и вертикальные углы
- Определите по расположению, какая пара дана.
- Запишите нужное свойство: α + β = 180° или α = γ.
- Если дано отношение, разность или выражения с переменной, выразите углы через x.
- Составьте и решите линейное уравнение.
- Найдите все требуемые углы и проверьте условия: вертикальные должны совпасть, смежные — дать 180°, четыре угла вокруг точки — 360°.
Задача с отношением
Смежные углы относятся как 2:3. Пусть они равны 2x и 3x. Тогда 2x + 3x = 180°, откуда 5x = 180° и x = 36°. Углы равны 72° и 108°. Проверка: 72° + 108° = 180°, отношение 72:108 сокращается до 2:3.
Задача с разностью
Один смежный угол на 36° больше другого. Пусть меньший равен x, тогда больший равен x + 36°. Получаем x + x + 36° = 180°, значит 2x = 144° и x = 72°. Ответ: 72° и 108°. Их разность действительно равна 36°.
Задача с алгебраическими выражениями
Смежные углы заданы выражениями 3x + 10° и 5x − 6°. Составим уравнение: 3x + 10 + 5x − 6 = 180. Тогда 8x + 4 = 180, 8x = 176, x = 22. Углы равны 3 · 22 + 10 = 76° и 5 · 22 − 6 = 104°. Оба положительны, а сумма равна 180°.
Задача с биссектрисой
Пусть ∠AOB = 120°, а луч OC — его биссектриса. Тогда ∠AOC = ∠COB = 60°. Угол, смежный с ∠AOB, тоже равен 180° − 120° = 60°. Здесь три угла получили одинаковое значение по разным причинам: два — по определению биссектрисы, третий — по свойству смежных углов.
Где встречаются смежные и вертикальные углы
Простая модель — буква «Х», раскрытые ножницы или две прямые рейки, пересекающиеся в одной точке. Если мысленно продолжить обе линии, противоположные углы будут вертикальными и равными, а соседние — смежными.
Практические примеры работают в геометрической модели прямых линий. Реальные дороги, детали и измерения требуют идеализации и учёта погрешности.
В черчении, строительстве и геодезии та же модель помогает рассуждать о пересечении направлений. Однако реальные дороги имеют ширину и закругления, детали — неровности, а измерительные приборы — погрешность. Свойства углов применяются точно только после того, как объект обоснованно заменён геометрическими прямыми.
Частые ошибки
- Любые углы с суммой 180° называют смежными. Сначала проверьте общую сторону и противоположность двух других лучей.
- Считают, что смежные углы всегда равны. Они равны только при 90° и 90°.
- Путают соседнюю и противоположную пары. Соседняя пара смежная, противоположная — вертикальная.
- Вычитают известный угол из 360°. Для одного соседнего угла нужна сумма развёрнутого угла 180°. Число 360° относится ко всем четырём углам вокруг точки.
- Верят масштабу рисунка. Значения следуют из условий и обозначений, а не из того, острым или тупым угол кажется на картинке.
- Забывают проверить ответ. Отрицательный угол или угол больше 180° для невырожденной смежной пары означает ошибку в уравнении.
Задачи для самопроверки
Задача 1. Найдите угол, смежный с 68°.
Ответ и решение
Запишем 68° + β = 180°. Тогда β = 180° − 68° = 112°. Вычитать из 360° не нужно: два смежных угла составляют развёрнутый, а не полный угол.
Задача 2. Один смежный угол втрое больше другого. Найдите оба.
Ответ и решение
Пусть углы равны x и 3x. Тогда x + 3x = 180°, 4x = 180°, x = 45°. Ответ: 45° и 135°.
Задача 3. При пересечении двух прямых один угол равен 78°. Найдите остальные три.
Ответ и решение
Вертикальный угол равен 78°. Два соседних угла смежные с данным: каждый равен 180° − 78° = 102°. Итак, остальные углы — 102°, 78° и 102°.
Задача 4. Два вертикальных угла в сумме дают 100°. Чему равен каждый?
Ответ и решение
Вертикальные углы равны. Если каждый обозначить x, получим 2x = 100°, поэтому x = 50°.
Задача 5. Могут ли углы 70° и 110° не быть смежными?
Ответ и объяснение
Да. Сумма 180° необходима, но недостаточна. Нужны общая вершина, общая сторона и противоположные внешние лучи. Два угла с такими значениями можно расположить отдельно, и тогда они не будут смежными.
Задача 6. Один из углов при пересечении двух прямых равен 90°. Найдите остальные.
Ответ и решение
Вертикальный ему угол равен 90°. Каждый соседний равен 180° − 90° = 90°. Следовательно, все четыре угла прямые, а линии перпендикулярны.
Сколько углов образуется при пересечении прямых
Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла: две пары вертикальных и четыре пары смежных. Если известен один угол α, значения по кругу равны α, 180° − α, α, 180° − α. Их сумма:
α + (180° − α) + α + (180° − α) = 360°.
Если через одну точку проходят три разные прямые, образуется шесть углов. Каждый угол по-прежнему равен своему вертикальному углу, но для нахождения всех шести одного значения уже недостаточно: нужно знать расположение третьей прямой или дополнительные углы.
Историческая справка
Равенство вертикальных углов — одно из ранних утверждений классической геометрии. Оно сформулировано и доказано как предложение 15 первой книги «Начал» Евклида, созданных примерно в III веке до н. э. Иногда это знание связывают и с более ранней греческой традицией, но такие утверждения труднее подтвердить источниками. Для решения школьных задач историческая справка не нужна, зато само доказательство показывает важный принцип геометрии: рисунок помогает увидеть гипотезу, а истинность устанавливается рассуждением.
Классическое доказательство равенства вертикальных углов соответствует книге I, предложению 15 «Начал» Евклида: Euclid I.15.
Часто задаваемые вопросы
Чему равна сумма смежных углов?
Всегда 180°, потому что их внешние стороны являются противоположными лучами и вместе образуют развёрнутый угол. Если один угол равен α, второй равен 180° − α.
Вертикальные углы всегда равны?
Да, при любом наклоне пересекающихся прямых. Каждый из двух вертикальных углов дополняет один и тот же соседний угол до 180°, поэтому их значения равны.
Могут ли смежные углы быть равными?
Да, только если каждый равен 90°. Для равных углов α + α = 180°, поэтому α = 90°. Здесь часто ошибаются: равенство является частным случаем, а не общим свойством смежных углов.
Сколько пар вертикальных углов образуют две пересекающиеся прямые?
Ровно две пары. Всего появляются четыре угла; каждый угол имеет один вертикальный и два смежных с ним угла.
Как найти все углы, если известен один?
Вертикальный угол имеет то же значение. Два соседних равны 180° минус известный угол. Например, при α = 35° четыре значения по кругу будут 35°, 145°, 35° и 145°.
Достаточно ли равенства, чтобы назвать углы вертикальными?
Нет. Равными могут быть углы в разных частях чертежа. Для вертикальной пары необходимо, чтобы стороны одного угла были противоположными лучами к сторонам другого.
Что изучать дальше
Повторите виды углов и разберите углы при параллельных прямых.
1 комментарий к “Смежные и вертикальные углы: признаки, свойства и задачи”