Объём призмы равен V = S · h, где S означает площадь основания, а h означает перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Например, при S = 6 см² и h = 10 см получаем 60 см³. Формула подходит и прямой, и наклонной призме; высоту нельзя подменять длиной наклонного бокового ребра.
Другой пример: при площади основания 12 см² и высоте 7 см объём равен 12 · 7 = 84 см³.
В калькуляторе выберите «Прямоугольный параллелепипед» для призмы с прямоугольным основанием. Отдельного режима для произвольного многоугольного основания здесь нет: его площадь S сначала находят по условию задачи, затем вычисляют S · h самостоятельно.
Аквариум, коробку из-под сока, бассейн или упаковку шоколада можно приближённо представить призмой. В основании такой модели лежит многоугольник: треугольник, прямоугольник, шестиугольник или другая фигура. Сначала находят его площадь, затем умножают на высоту. Для жидкости измеряют внутреннее сечение ёмкости и высоту заполненного слоя; толщину стенок и предметы внутри нельзя автоматически включать в объём воды.
Что такое призма простыми словами?
Призма — это многогранник с двумя одинаковыми параллельными основаниями (это многоугольники) и боковыми гранями в форме параллелограммов. Проще говоря, берём любой плоский многоугольник и «вытягиваем» его вверх — получается призма. Название призмы зависит от основания: треугольная, четырёхугольная, шестиугольная.
Если боковые рёбра перпендикулярны основанию, призму называют прямой — у неё боковые грани прямоугольные. Если боковые рёбра не перпендикулярны основаниям, призма наклонная; поворот всей модели на столе не меняет её вид. Школьный пенал, кирпич, гранёный карандаш и коробка конфет «Тоблерон» дают бытовые модели призм. У реальных предметов могут быть скругления, скошенные или заточенные концы; в расчёте такие детали оговаривают отдельно.
Как найти объём призмы по формуле?
Считаем в три шага: найти площадь основания S, измерить высоту h (расстояние между основаниями) и перемножить их. Метод одинаков для любой призмы — меняется только то, как считается площадь основания. Разберём на конкретной треугольной призме.
Пусть в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, а перпендикулярная высота призмы равна 10 см. Площадь основания: S = ½ · 3 · 4 = 6 см². Теперь умножаем на высоту: 6 · 10 = 60. Значит, объём такой призмы равен 60 см³. Проверяемо и воспроизводимо: поменяете числа — алгоритм тот же.
Чему равен объём прямоугольной призмы?
Здесь прямоугольной призмой называем прямую призму с прямоугольным основанием: это прямоугольный параллелепипед, или коробка. Площадь его основания равна произведению длины на ширину, поэтому объём получается как произведение всех трёх измерений: V = a · b · c. Это частный случай той же формулы S · h, просто здесь площадь основания удобно расписать через стороны.
Пример: коробка со сторонами 5 см, 4 см и 3 см имеет объём 5 · 4 · 3 = 60 см³. Кстати, у куба все три измерения одинаковы, поэтому его объём — это сторона в кубе.
Какие бывают способы посчитать объём?
Главный приём один — площадь основания умножить на высоту, но «зайти» к нему можно по-разному в зависимости от того, что известно.
- Через площадь основания: сначала находим S любым удобным способом, потом умножаем на высоту. Универсальный путь для любого многоугольника.
- Через стороны (для коробки): сразу перемножаем три измерения a · b · c, не вычисляя площадь отдельно.
- Через объём воды: если фигуру можно заполнить жидкостью, объём измеряют практически — 1 литр равен 1000 см³ (кубический дециметр).
Где объём призмы нужен в жизни?
Ответ: всюду, где надо узнать, «сколько влезет» в вытянутую ёмкость — от детской поделки до большой стройки.
Коробка для конструктора
У коробки внутренние размеры 20 × 15 × 10 см, значит её вместимость равна 3000 см³ = 3 л. Но сумма объёмов деталей конструктора не показывает, сколько наборов поместится: между деталями остаются пустоты. Для упакованных наборов нужно проверить и объём, и укладку. Например, прямоугольных упаковок 10 × 5 × 5 см при укладке в указанной ориентации войдёт (20 : 10) · (15 : 5) · (10 : 5) = 12. Это конкретная схема размещения, а не вывод только из отношения объёмов.
Бассейн на даче
Если внутренние длина и ширина прямоугольного бассейна равны 5 м и 3 м, а вода должна заполнить глубину 1,5 м, объём водяного слоя составит 5 · 3 · 1,5 = 22,5 м³ = 22 500 л. Это расчёт без вытесняющих воду ступеней и других деталей. При постоянной производительности насоса время заполнения находят делением объёма на расход, а стоимость по счётчику зависит ещё и от тарифа. Геометрия задаёт объём, но не эти дополнительные величины.
Задачи для самопроверки
1. Найдите объём прямой призмы, если площадь основания 12 см², а высота 7 см.
Применяем формулу V = S · h: 12 · 7 = 84 см³.
2. В основании призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, высота призмы 10 см. Найдите объём.
Площадь основания: S = ½ · 6 · 8 = 24 см². Объём: 24 · 10 = 240 см³.
3. Какова полная вместимость бака с внутренними размерами 50 см × 40 см × 30 см, без перегородок?
Объём: 50 · 40 · 30 = 60 000 см³. Делим на 1000 (в литре 1000 см³): получаем 60 литров.
4. Объём призмы 90 см³, площадь основания 15 см². Чему равна высота?
Из формулы V = S · h выразим высоту: h = V : S = 90 : 15 = 6 см.
Откуда взялась формула объёма?
Расчёты объёма нужны были для хранения зерна и строительства задолго до современной записи формул. В книге XI «Начал» Евклида уже сравниваются объёмы параллелепипедов: тела с равными площадями оснований и одинаковой высотой имеют равные объёмы, даже если они наклонены. В XVII веке Бонавентура Кавальери развивал метод неделимых; в его книге 1635 года сравнение тел связывается с их параллельными сечениями. Поэтому принцип носит его имя, но называть его первым или окончательным открытием независимости объёма от наклона было бы неточно.
Связь с объёмами цилиндра, пирамиды и конуса
Та же формула «площадь основания на высоту» работает и для цилиндра, но цилиндр не является призмой: у призмы основания — многоугольники, а у цилиндра — круги. Связь можно увидеть через предельную аналогию: правильные призмы с всё большим числом сторон в основании всё точнее приближают цилиндр. Строго равенство объёмов обосновывает принцип Кавальери: тела одинаковой высоты имеют равные объёмы, если площади их сечений на каждой высоте равны. А у пирамиды и конуса, которые сужаются к вершине, объём при тех же площади основания и высоте в три раза меньше: V = ⅓ · S · h. Так одна идея связывает формулы объёма нескольких разных тел, не смешивая их определения.
Частые вопросы (FAQ)
Как найти объём призмы?
Нужно площадь основания умножить на высоту: V = S · h. Сначала считаем площадь многоугольника в основании, затем умножаем на расстояние между основаниями. Например, при площади основания 6 см² и высоте 10 см объём равен 60 см³.
Чему равен объём прямоугольной призмы?
Объём прямоугольной призмы (коробки) равен произведению трёх её измерений: V = a · b · c. Например, для коробки 5 на 4 на 3 см объём составит 60 см³. Это частный случай формулы V = S · h.
Чем отличается прямая призма от наклонной по объёму?
По объёму — ничем, если у них одинаковые основание и высота. По принципу Кавальери наклон не меняет объём. Важно лишь, чтобы высота считалась как расстояние между основаниями, а не как длина бокового ребра.
В каких единицах измеряется объём призмы?
В кубических единицах: кубических сантиметрах (см³), кубических метрах (м³) и так далее. Для жидкостей удобны литры: 1 литр равен 1000 см³, то есть одному кубическому дециметру. Единицы всех измерений перед расчётом приводят к одинаковым.
Как найти высоту призмы, зная объём?
Нужно объём разделить на площадь основания: h = V : S. Например, если объём 90 см³, а площадь основания 15 см², то высота равна 6 см. Аналогично можно найти площадь основания, разделив объём на высоту.
Проверьте себя
Площадь основания призмы равна 9 см², высота — 5 см. Чему равен объём?
V = S · h = 9 · 5 = 45 см³.
Объём призмы равен 72 см³, а высота — 8 см. Найдите площадь основания.
S = V : h = 72 : 8 = 9 см².
У наклонной и прямой призм одинаковые основания и одинаковая высота. Равны ли их объёмы?
Да. В обоих случаях V = S · h. Высоту наклонной призмы измеряют как перпендикулярное расстояние между основаниями, а не по боковому ребру.