Объём прямого кругового цилиндра вычисляют по формуле V = πr²h: площадь круглого основания πr² умножают на высоту h. Радиус и высоту нужно выразить в одних единицах, а результат записать в кубических единицах; 1 дм³ равен 1 литру.
Поставьте рядом два стакана: один высокий и узкий, другой низкий и широкий. Спросите любого — в каком воды поместится больше? Почти все уверенно покажут на высокий: он же «больше». А потом начинают переливать воду из широкого в высокий — и она не помещается. Глаз обманывается, потому что замечает только высоту и совсем не умеет «считать» ширину. Математика умеет — и делает это одной короткой формулой объёма цилиндра.
Объём цилиндра равен площади его основания, умноженной на высоту: V = πr²h, где r — радиус основания, h — высота, а π ≈ 3,14. Проще говоря, мы берём один круглый «блинчик»-основание и считаем, сколько таких блинчиков уместится по всей высоте.
Высота и радиус влияют на объём по-разному — и это сбивает интуицию. Увеличьте высоту цилиндра вдвое — объём вырастет ровно вдвое, честно и предсказуемо. А вот увеличьте вдвое радиус — и объём вырастет вчетверо. Утройте радиус — объём станет больше в девять раз. Радиус входит в формулу в квадрате, поэтому даже чуть более широкий стакан вмещает заметно больше, чем кажется. На этом обмане зрения и держится фокус с двумя стаканами.
Содержание
Цилиндр — это стопка одинаковых кругов, и отсюда берётся формула
Самый простой способ понять, что такое объём цилиндра, — представить стопку блинов. Каждый блин — это тонкий круг. Положите блины друг на друга ровной башенкой — получится цилиндр. Чем больше блинов в стопке, тем она выше; чем шире каждый блин, тем толще вся башня.
Объём такой башни — это сколько «теста» в ней всего. Логика подсказывает простой ход: возьмите площадь одного блина и повторите её столько раз, какова высота стопки. Точно так же ведут себя стопка монет, рулон бумажных полотенец, пачка одинаковых печений-кружков. Цилиндр — это всегда один и тот же круг, «вытянутый» по высоте. Запомнив этот образ, формулу уже не придётся зубрить — она сама собой складывается из картинки.
Осталось превратить картинку со стопкой блинов в формулу. Площадь одного круглого основания считается по известной формуле площади круга: S = πr², где r — радиус, расстояние от центра круга до его края. Число π (пи) — постоянное, примерно 3,14; оно появляется всегда, когда в деле участвует окружность.
Дальше основание «повторяется» по высоте. Высота цилиндра h показывает, насколько он вытянут. Перемножаем площадь основания и высоту — и получаем объём:
V = S · h = πr² · h
Эта же логика «площадь основания, умноженная на высоту» работает не только для цилиндра. По ней считают и объём призмы — например, коробки с прямоугольным дном. Меняется только формула площади основания, а принцип остаётся один.
Здесь нужна оговорка, иначе из этого сходства легко сделать неверный вывод. Аналогия со стопкой одинаковых слоёв работает и для призмы, и для цилиндра — но цилиндр призмой не является. У призмы в основании лежит многоугольник: треугольник, прямоугольник, шестиугольник. У цилиндра в основании круг, а круг многоугольником не назовёшь — у него нет ни вершин, ни сторон. Так что цилиндр — не частный случай призмы, а отдельная фигура, которая просто считается по тому же правилу «основание, умноженное на высоту». Родство здесь не в классификации, а в способе расчёта.
Ответ всегда получается в кубических единицах: считали в сантиметрах — объём выйдет в кубических сантиметрах (см³), считали в метрах — в кубических метрах (м³). Это естественно: объём измеряет, сколько маленьких кубиков уместится внутри фигуры.
Десятичная запись числа π бесконечна и не повторяется, поэтому, как только π заменяют десятичной дробью, ответ становится приближённым — об этом и говорит знак «≈»; ответ вида 90π см³ остаётся точным. Умножать надёжнее на точное π и округлять уже готовый ответ, а привычное 3,14 брать тогда, когда считаете в тетради и высокая точность не нужна.
Формула одна, но условие задачи может давать радиус, диаметр или площадь основания. Сначала восстановим r, и только потом посчитаем площадь основания — иначе половина ошибок случается ещё до умножения.
Три формы одной формулы: радиус, диаметр, площадь основания
В задачах не всегда дают именно радиус. Поэтому полезно знать формулу в трёх «обличьях» — все они выражают одно и то же.
- По радиусу. Основной вариант: V = πr²h. Подходит, когда радиус известен напрямую.
- По диаметру. Диаметр d — это «поперечник» круга, он вдвое больше радиуса: r = d/2. Подставив это в формулу, получаем V = π·(d/2)²·h = πd²h/4. Удобно, когда банку или трубу измерили линейкой через центр — поймать линейкой диаметр проще, чем радиус.
- По площади основания. Если площадь круга S уже известна или дана в условии, ничего возводить в квадрат не нужно: V = S·h. Самый короткий путь.
Все три записи — это одна и та же формула, просто настроенная под разные исходные данные. Выбирайте тот вариант, где меньше лишних вычислений.
Почему радиус решает больше, чем высота
Вернёмся к тем самым двум стаканам и посчитаем честно. Высокий узкий стакан: радиус 3 см, высота 14 см. Его объём: V = π·3²·14 = π·9·14 = 126π ≈ 396 см³. Низкий широкий стакан: радиус 5 см, высота всего 6 см. Его объём: V = π·5²·6 = π·25·6 = 150π ≈ 471 см³.
Широкий стакан выигрывает, хотя он более чем вдвое ниже. Весь секрет — в возведении радиуса в квадрат. Прибавка к высоте даёт прирост «по-честному», один к одному. А прибавка к радиусу прирастает квадратом: разница в радиусе между 3 и 5 сантиметрами превращается в разницу площадей между 9π и 25π — почти втрое. Поэтому, выбирая кружку для чая или термос в поход, смотрите в первую очередь на ширину, а не на рост.
Проверим это на круглых числах. Возьмём цилиндр и удвоим только высоту — объём станет ровно вдвое больше, и это ожидаемо. Затем вернёмся к исходному цилиндру и удвоим только радиус: объём вырастет в 2², то есть в 4 раза. Утроим радиус — рост будет уже в 3², в 9 раз. Радиус «работает в квадрате», поэтому при выборе формы ёмкости небольшая прибавка к ширине даёт куда больший прирост объёма, чем такая же прибавка к высоте.
Со стаканами разобрались и на глаз, и по формуле. Но за пределами учебника объём почти никогда не спрашивают в кубических сантиметрах: спрашивают, сколько войдёт литров и сколько уйдёт кубов бетона. Значит, к формуле нужен ещё один шаг — перевод единиц.
Сколько литров в бочке и сколько бетона на круглую опору
Цилиндр — самая частая форма для хранения жидкостей: бочки, баки, цистерны, бойлеры. И здесь объём нужно знать не из любопытства, а чтобы понять, сколько влезет литров.
Возьмём садовую бочку для воды: диаметр 0,8 метра, высота 1,2 метра. Радиус — половина диаметра, то есть 0,4 метра. Считаем объём: V = π·0,4²·1,2 = π·0,16·1,2 ≈ 0,603 кубометра.
Остался один шаг — перевести кубометры в литры. Здесь работает простое и очень полезное правило: один кубический дециметр — это ровно один литр, а в одном кубометре 1000 литров. Значит, в нашей бочке помещается примерно 0,603 × 1000 ≈ 603 литра воды. Тем же расчётом пользуются, когда прикидывают, сколько топлива войдёт в цистерну, сколько воды наберётся в круглом бассейне-«лягушатнике» и сколько бетона уйдёт на круглую опору фундамента.
Чтобы не путаться в переводах, держите перед глазами всю лесенку единиц. Она короткая, и в ней нет ни одного сложного коэффициента — только тысячи.
| Кубическая единица | Сколько это в мерах жидкости | Где встречается |
|---|---|---|
| 1 см³ | 1 миллилитр | шприц, мерная ложка, объём банки в мл |
| 1 дм³ | 1 литр = 1000 см³ | пакет сока, бутылка, ведро в литрах |
| 1 м³ | 1000 литров = 1 000 000 см³ | бочка, бак, бассейн, куб бетона |
Полезно держать в голове несколько ориентиров — но вместе с оговорками, без которых ориентир превращается в ошибку. Стандартная металлическая бочка на 200 литров — это цилиндр высотой около 0,9 метра и диаметром примерно 0,57 метра. Подставим эти размеры в формулу: радиус равен 0,285 метра, значит V = π · 0,285² · 0,9 = π · 0,081225 · 0,9 ≈ 0,230 кубометра, то есть около 230 литров. Лишние тридцать — это зазор между геометрией корпуса и номинальной, полезной вместимостью: до самой кромки жидкость не доводят, часть высоты забирают закатанные края, а содержимому оставляют запас на расширение при нагреве. Формула даёт верхнюю границу — сколько войдёт в идеальный цилиндр таких габаритов, — а не паспортную цифру с этикетки.
Тот же расчёт работает и тогда, когда цилиндр заполняют не водой, а материалом. Круглые опоры под забор или террасу — это бетонные цилиндры в земле. Пусть скважина под опору имеет диаметр 0,3 метра и глубину 1,5 метра. Радиус равен 0,15 метра, значит объём одной опоры: V = π·0,15²·1,5 = π·0,0225·1,5 ≈ 0,106 кубометра. Это те же 106 литров бетонной смеси — цифра неожиданно большая для ямки, в которую свободно проходит нога.
Опор редко бывает одна. Шесть таких скважин потребуют 0,106 × 6 ≈ 0,64 кубометра бетона, то есть около 640 литров. Отсюда и двойной счёт на стройке: смесь заказывают кубометрами, а проверяют вёдрами и мешками, которые меряются литрами. Ошибка в радиусе стоит здесь дороже, чем в тетради: при радиусе 0,17 вместо 0,15 метра объём одной опоры вырастает до π·0,0289·1,5 ≈ 0,136 кубометра — почти на треть больше.
Где формула цилиндра уже не работает
Ведро в список цилиндрических ёмкостей не попадает, хотя записать его туда тянет почти каждого. Присмотритесь к обычному ведру: книзу оно сужается, верхний край заметно шире дна. Значит, это не цилиндр, а усечённый конус, и формула V = πr²h для него неверна. Посмотрим, чего стоит такая подмена. Возьмём ведро с диаметром по верху 26 см, по дну 22 см и высотой 25 см. Посчитаем его как цилиндр, взяв верхний радиус 13 см: V = π · 13² · 25 = 4225π ≈ 13 273 см³, больше тринадцати литров. На деле усечённый конус такой формы вмещает около 11 336 см³, то есть примерно 11,3 литра. Завышение — почти два литра, то есть порядка семнадцати процентов от настоящей вместимости ведра. Формула цилиндра словно «достраивает» ведро до прямых стенок по самому широкому краю и приписывает ему объём, которого нет.
Кстати, на самом ведре написано «10 л», а геометрия дала 11,3: как и на бочке, маркируют полезный объём. Отсюда рабочее правило. Формула цилиндра годится там, где стенки действительно вертикальные и сечение одинаково по всей высоте: консервная банка, кастрюля с прямыми стенками, стакан-цилиндр, отрезок трубы, круглая бетонная колонна. Как только ёмкость сужается или расширяется кверху — ведро, таз, цветочный горшок, — нужна уже другая формула. Зная эту границу, по двум меркам, высоте и диаметру, можно прикинуть вместимость почти любой по-настоящему цилиндрической ёмкости, не доверяя оценке «на глаз».
Почему банки одного объёма бывают разной формы
Есть и обратный сюжет, который формула объясняет лучше всего. Литровая банка — это 1000 см³. Её можно сделать узкой: при радиусе 4 см высота получится h = 1000 ÷ (π·4²) ≈ 19,9 см. А можно широкой: при радиусе 6 см высота будет всего h = 1000 ÷ (π·6²) ≈ 8,8 см. Объём одинаковый, а жести на них уходит разное количество. Полная поверхность цилиндра складывается из двух кругов и боковой стенки: S = 2πr² + 2πrh. Для узкой банки это примерно 101 + 500 ≈ 601 см², для широкой — примерно 226 + 333 ≈ 559 см². Широкая банка при том же литре требует на сорок с лишним квадратных сантиметров меньше металла.
Если поискать самую экономную форму, окажется, что металла уходит меньше всего, когда высота банки равна её диаметру. Для литра это радиус около 5,4 см и высота около 10,8 см: поверхность выходит примерно 554 см² — меньше, чем у обоих вариантов выше. Так формула объёма перестаёт быть школьной и становится инженерной: она показывает, что именно можно менять в форме упаковки, не меняя её вместимости.
Сплошной цилиндр — базовая модель. Для трубы логика сохраняется: из объёма внешнего цилиндра нужно вычесть внутренний.
Объём трубы: цилиндр с дыркой посередине
Не всякий цилиндр сплошной. Водопроводная труба, металлическая втулка, картонная гильза от рулона бумаги — это цилиндр, у которого внутри вырезан цилиндр поменьше. Такую фигуру называют полым цилиндром или цилиндрической трубой, и её объём — то есть объём самого материала, а не пустоты внутри — считается простым вычитанием.
Идея такая: берём объём большого, внешнего цилиндра и вычитаем объём внутренней пустоты. Если внешний радиус трубы R, внутренний радиус r, а высота (длина трубы) h, то объём стенок равен V = πR²h − πr²h = πh(R² − r²). Высота у обоих цилиндров одна и та же, поэтому её выносят за скобку, а внутри скобок остаётся разность квадратов радиусов.
Пример: труба длиной 100 см, внешний радиус 5 см, внутренний 4 см. Объём металла в стенках: V = π · 100 · (5² − 4²) = π · 100 · (25 − 16) = 900π ≈ 2827 см³. Тем же способом считают, сколько бетона нужно на круглую колонну с полостью внутри и сколько пластика уходит на изготовление трубы заданной длины. А если у той же трубы считать не стенки, а просвет — сколько воды она вмещает, — берут внутренний цилиндр: π·4²·100 = 1600π ≈ 5027 см³, то есть чуть больше пяти литров на каждый метр длины.
Три ошибки при расчёте объёма цилиндра
Формула короткая, но именно в коротких формулах ошибаются охотнее всего. Вот три промаха, которые портят ответ чаще других.
- Подставляют диаметр вместо радиуса. В формуле V = πr²h стоит именно радиус. Если в условии дан диаметр, его сначала нужно разделить пополам. Подставили диаметр как радиус — и объём получился завышенным сразу вчетверо, ведь радиус входит в формулу в квадрате.
- Забывают возвести радиус в квадрат. πr²h — это π, умноженное на r², а не на r. Частый промах — посчитать π · r · h. Радиус обязательно возводится в квадрат, потому что речь идёт о площади круга, а площадь — величина «двумерная».
- Смешивают единицы измерения. Если радиус задан в сантиметрах, а высота в метрах, перемножать их нельзя. Сначала все размеры приводят к одним единицам, и только потом считают. Иначе ответ разойдётся с правдой в десятки или сотни раз.
От всех трёх спасает один и тот же приём — быстрая проверка на знакомом предмете. Если цилиндр похож на банку или стакан, сначала найдите площадь круглого дна, а затем умножьте её на высоту. Например, для радиуса 3 см и высоты 12 см получится V = π · 3² · 12 = 108π см³, то есть примерно 339 см³ — и это сразу узнаётся как «чуть больше трети литра».
Проверка на здравый смысл простая: если радиус увеличить в 2 раза, объём вырастет в 4 раза, потому что радиус стоит в квадрате. Если увеличить только высоту в 2 раза, объём тоже увеличится в 2 раза. Не сходится с этой прикидкой — ищите ошибку в подстановке, а не в арифметике.
Попробуйте сами
Четыре задачи возрастающей сложности. Сначала попробуйте решить сами, потом сверьтесь с разбором. Число π берите как 3,14.
Задача 1 (разминка). У цилиндра радиус основания 3 см, высота 10 см. Найдите его объём.
Показать решение задачи 1
Подставляем в формулу V = πr²h. Сначала радиус в квадрат: 3² = 9. Затем V = π · 9 · 10 = 90π. Заменяем π на 3,14: V ≈ 90 · 3,14 = 282,6 см³. Объём цилиндра — примерно 282,6 кубических сантиметра.
Задача 2. Консервная банка имеет форму цилиндра: диаметр 10 см, высота 12 см. Сколько примерно миллилитров в неё помещается? (Подсказка: 1 см³ = 1 мл.)
Показать решение задачи 2
Дан диаметр, значит радиус вдвое меньше: r = 10 ÷ 2 = 5 см. Считаем объём: V = π · 5² · 12 = π · 25 · 12 = 300π ≈ 300 · 3,14 = 942 см³. Поскольку один кубический сантиметр равен одному миллилитру, в банку помещается около 942 мл — почти литр.
Задача 3 (посложнее). Круглый бассейн имеет диаметр 3 метра. Воду налили на глубину 1 метр. Сколько литров воды в бассейне?
Показать решение задачи 3
Слой воды — это тоже цилиндр: основание совпадает с дном бассейна, высота равна глубине воды. Радиус: r = 3 ÷ 2 = 1,5 м. Объём: V = π · 1,5² · 1 = π · 2,25 · 1 = 2,25π ≈ 2,25 · 3,14 = 7,065 м³. Переводим в литры: в одном кубометре 1000 литров, значит 7,065 × 1000 ≈ 7065 литров. В бассейне примерно 7 тонн воды.
Задача 4 (в стиле экзаменационной). Объём цилиндра равен 24 см³. Радиус основания увеличили в 2 раза, а высоту уменьшили в 3 раза. Каким стал объём?
Показать решение задачи 4
Считать π здесь не нужно — достаточно понимать, как каждая величина входит в формулу. Радиус стоит в квадрате, поэтому удвоение радиуса умножает объём на 2² = 4. Высота входит в первой степени, поэтому уменьшение высоты втрое делит объём на 3. Итого: V = 24 · 4 ÷ 3 = 32 см³. Новый объём — 32 кубических сантиметра: цилиндр стал заметно ниже, а вмещает больше прежнего.
Архимед, шар в цилиндре и наклонная стопка монет
Объём цилиндра умели считать ещё в древности — круглые зернохранилища и колонны требовали точного счёта. Но по-настоящему влюбился в цилиндр древнегреческий математик Архимед, живший в III веке до нашей эры.
Архимед доказал красивую вещь: если в цилиндр плотно вписать шар — такой, что он касается и боковой стенки, и обоих оснований, — то объём шара составит ровно две трети объёма цилиндра. По преданию, Архимед завещал высечь на своём надгробии рисунок — шар внутри цилиндра. Спустя примерно 137 лет римский политик Цицерон, оказавшись в Сиракузах, разыскал заброшенную, заросшую могилу великого математика — и узнал её именно по этому чертежу шара в цилиндре.
У этой любви к цилиндру есть продолжение, которое можно проверить руками. Вернёмся к стопке монет, с которой мы начинали. Сложите монеты в ровный столбик — получится цилиндр, и его объём мы считать умеем. А теперь чуть сдвиньте каждую монетку вбок, чтобы столбик «поехал» и стал наклонным, как Пизанская башня. Вопрос: изменился ли объём?
Нет. Объём остался прежним. Ни одна монета никуда не делась, толщина каждой не изменилась — а значит, и металла в стопке ровно столько же. Получился наклонный цилиндр, и для него работает та же формула V = πr²h, где h — это по-прежнему высота, то есть расстояние между плоскостями оснований, измеренное по перпендикуляру к ним, а вовсе не длина наклонного бока. Формулировка «по вертикали» была бы здесь неточной: она верна, только пока основания лежат горизонтально. Наклоните всю стопку целиком, положите её на бок — и вертикаль перестанет быть перпендикуляром к основаниям, а высота цилиндра при этом не изменится.
Это частный случай красивого правила, которое называют принципом Кавальери: если две фигуры на каждой высоте имеют одинаковые по площади сечения, то и объёмы у них равны — как бы фигуры ни были перекошены. Стопка монет делает этот глубокий принцип почти осязаемым: иногда, чтобы понять математику, достаточно просто взять её в руки.
Частые вопросы (FAQ)
Как найти объём цилиндра? Объём цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту: V = πr²h. Возведите радиус основания в квадрат, умножьте на π (примерно 3,14) и на высоту цилиндра.
Чему равно π в формуле объёма цилиндра? π (пи) — это постоянное число, примерно равное 3,14. В школьных задачах обычно берут 3,14, а для более точных расчётов — 3,14159. Иногда ответ оставляют прямо с символом π, например 90π см³.
Как вычислить объём цилиндра через диаметр? Радиус равен половине диаметра: r = d/2. Можно сразу подставить это в формулу и получить V = πd²h/4. То есть возведите диаметр в квадрат, умножьте на π и на высоту, а результат разделите на 4.
В каких единицах измеряется объём цилиндра? В кубических единицах. Если радиус и высота заданы в сантиметрах, объём получится в кубических сантиметрах (см³), если в метрах — в кубических метрах (м³). Главное — все размеры брать в одних и тех же единицах.
Как перевести объём цилиндра в литры? Один литр равен одному кубическому дециметру, а в одном кубометре 1000 литров. Если объём посчитан в кубометрах, умножьте его на 1000. Если в кубических сантиметрах — разделите на 1000, ведь 1 литр = 1000 см³.
От разобранного примера к собственному счёту
Формулу V = πr²h легко узнать и так же легко применить неправильно: диаметр вместо радиуса, потерянный квадрат, сантиметры рядом с метрами. Разобранный пример этого не ловит — своя ошибка видна только тогда, когда считаете сами и сразу сверяете ответ. В интерактивном курсе «Основы геометрии» задачи на круг, площадь основания и объём тел решаются с пошаговой проверкой: видно, на каком именно шаге расходятся вычисления.
2 комментария к “Объём цилиндра: формула V = πr²h, вывод и примеры”