В задачах ОГЭ на проценты нужно сначала назвать величину, принятую за 100%, затем перевести процент в множитель и проверить, к какой величине относится следующий шаг. Если известен результат изменения, идите обратно делением на множитель, а не вычитанием того же процента.
Сначала найдите базу, потом действие
Фраза «цену повысили на 20%» означает, что новая цена равна 120% старой, то есть старую цену умножили на 1,20. Снижение на 20% означает множитель 0,80. База меняется после каждого действия: при второй скидке 100% уже означает цену после первой. Поэтому два процента нельзя механически складывать или вычитать.
Перед вычислением запишите короткую цепочку «было → стало». Стрелку подпишите множителем. Это помогает отличить три вопроса: найти часть от целого, восстановить целое по части и проследить несколько изменений. Общие формулы и вычисление процента от числа разобраны отдельно; здесь важно выбрать верную цепочку по условию задачи.
Два хода в одной задаче
Учебная задача в экзаменационном формате: билет стоил 1500 ₽. Сначала цену повысили на 20%, затем новую цену снизили на 20%. Сколько стоит билет теперь и на сколько процентов итог отличается от исходной цены?
После повышения цена равна 1500 · 1,20 = 1800 ₽. Снижение берём уже от 1800 ₽: 1800 · 0,80 = 1440 ₽. Разница с первоначальной ценой 60 ₽. Относительно первоначальных 1500 ₽ это 60 / 1500 · 100% = 4%. Ответ: 1440 ₽, на 4% меньше исходной цены. Проверка одним выражением: 1,20 · 0,80 = 0,96, то есть осталось 96% первоначальной цены.
На этом месте часто получается ошибочный ответ 1500 ₽: ученик складывает «+20%» и «−20%». Стрелки на рисунке показывают, почему это не обратные действия. Чтобы вернуться после роста на 20%, нужно делить на 1,20; снижение на 20% умножает на 0,80.
Когда известно только «стало»
В другой учебной задаче после скидки 15% учебный набор стоит 1700 ₽. Найдите цену до скидки. Обозначим исходную цену через x. После скидки осталось 85% от x, значит 0,85x = 1700 и x = 1700 / 0,85 = 2000 ₽. Проверка прямым ходом: 15% от 2000 ₽ равны 300 ₽, после вычитания остаётся 1700 ₽.
Нельзя прибавить к 1700 ₽ ещё 15% от 1700 ₽: процент скидки был задан от старой цены, которую мы ищем. Деление на 0,85 возвращает именно ту базу, которая в условии была равна 100%. Такой обратный ход полезен и без цен: если 72 человека составляют 60% всех участников, всего было 72 / 0,60 = 120 человек.
Проверьте выбор базы
Решите задачи до открытия ответа. Каждый раз подпишите, что принимаете за 100%, и выполните обратную проверку. Задачи составлены для тренировки метода, это не задания из конкретного варианта ФИПИ.
Часть от целого
В группе 35 учащихся; 40% выбрали математический кружок. Сколько учащихся его выбрали?
Показать решение
100% — все 35 учащихся. Тогда 40% равны 35 · 0,40 = 14 учащимся. Проверка: 14 / 35 = 0,40. Ответ: 14.
Восстановить целое
После снижения на 25% цена составила 900 ₽. Какой была цена до снижения?
Показать решение
900 ₽ — это 75% исходной цены. Делим: 900 / 0,75 = 1200 ₽. Проверка: 25% от 1200 ₽ равны 300 ₽; 1200 − 300 = 900 ₽. Ответ: 1200 ₽.
Последовательные изменения
Количество экземпляров увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. Первоначально было 200 экземпляров. Сколько осталось и на сколько процентов это меньше исходного количества?
Показать решение
После первого изменения 200 · 1,10 = 220; после второго 220 · 0,90 = 198. Потеряно 2 экземпляра относительно исходных 200, то есть 2 / 200 · 100% = 1%. Проверка: 1,10 · 0,90 = 0,99. Ответ: 198 экземпляров, на 1% меньше.
На практике процентными множителями сравнивают цену до и после скидки или число участников до и после изменения. Та же осторожность с базой нужна в задачах о концентрации, но там отдельно сохраняют массу вещества; для этого есть разбор смесей и сплавов. Если задача не говорит, к какой величине относится процент, это не повод угадывать: сначала сформулируйте базу по смыслу условия, затем составьте цепочку и проверьте ответ обратным действием.