Закон Архимеда: формула, плавание и задачи

Закон Архимеда утверждает: на тело, погружённое в жидкость или газ, действует направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной среды:

F_A=ρ_средыgV_погруж.

При неизменных g и втором множителе сила Архимеда зависит от ρ или V по прямой пропорциональности: удвоение плотности среды или вытесненного объёма удваивает F_A.

В формулу входит плотность жидкости или газа, а также объём погружённой части тела — то есть объём вытесненной среды. Если тело погружено не полностью, подставлять его полный объём нельзя.

Почему возникает выталкивающая сила

Давление покоящейся жидкости растёт с глубиной. На нижнюю часть погружённого тела жидкость давит сильнее, чем на верхнюю. Горизонтальные составляющие сил давления компенсируются, а вертикальные дают результирующую вверх.

Этот принцип действует не только в воде. Любая жидкость и любой газ создают выталкивающую силу. Поэтому корабль поддерживается водой, воздушный шар — окружающим воздухом, а тело при погружении кажется легче.

Формула и единицы

• ρ_среды — плотность жидкости или газа в кг/м³;
• g — ускорение свободного падения, обычно 9,8 м/с² или 10 м/с² по условию;
• V_погруж — объём вытесненной среды в м³;
• F_A — сила в ньютонах.

Плотность тела в саму формулу силы Архимеда не входит. Она полезна для сравнения с весом и предсказания поведения однородного полностью погружённого тела.

Полезные переводы: 1 л=0,001 м³; 1 см³=10⁻⁶ м³; 1 г/см³=1000 кг/м³.

Когда тело тонет, всплывает или плавает

Для конкретного состояния погружения сравните две силы:

• если F_A>mg, результирующая направлена вверх;
• если F_A<mg, результирующая направлена вниз;
• если F_A=mg, вертикальные силы уравновешены.

Плавающее на поверхности тело погружено лишь настолько, чтобы вес вытесненной жидкости стал равен весу тела. Поэтому у плавающего тела сила Архимеда не больше веса, а равна ему в состоянии покоя.

Для однородного тела, полностью погружённого в жидкость, сравнение средних плотностей даёт удобное следствие. При ρ_тела<ρ_{жидкости} выталкивающая сила при полном погружении больше веса, и тело стремится всплыть. Но для полого корабля используют среднюю плотность всей конструкции, а не плотность стали.

На практике: сколько груза выдержит поплавок

Пусть герметичный поплавок имеет внешний объём 5 л и массу 1 кг. В пресной воде плотностью 1000 кг/м³ его полное погружение соответствует массе вытесненной воды 5 кг. Значит, предельная добавленная масса в этой модели равна 5−1=4 кг, но при таком грузе поплавок уже полностью под водой и запаса плавучести нет. Для удержания части корпуса над поверхностью груз должен быть меньше.

Груз	Общая масса	Вытесненный объём при равновесии	Погружённая доля
0 кг	1 кг	1 л	1/5
2 кг	3 кг	3 л	3/5
4 кг	5 кг	5 л	Полное погружение

Кажущийся вес

Если погружённое тело висит на динамометре и покоится, силы дают:

T+F_A=mg,

где T — натяжение пружины, то есть показание динамометра. Поэтому T=mg−F_A. Тело не теряет массу и сила тяжести не уменьшается: часть его веса компенсирует жидкость.

Алгоритм решения задач

1. Нарисуйте тело и отметьте вниз mg, вверх F_A, а при необходимости натяжение или реакцию.
2. Определите среду и возьмите именно её плотность.
3. Найдите объём погружённой части. При полном погружении он равен объёму тела.
4. Переведите плотность и объём в СИ.
5. Вычислите F_A=ρgV.
6. Если спрашивают движение или равновесие, сравните F_A с mg.

Три решённые задачи

1. Сила в воде

Полностью погружённый объём V=0,002 м³, ρ=1000 кг/м³, g=9,8 м/с². F_A=1000·9,8·0,002=19,6 Н.

2. Направление движения

Для того же погружения тело весит 15 Н. Результирующая равна 19,6−15=4,6 Н вверх, поэтому отпущенное тело начнёт всплывать.

3. Объём погружённой части

Тело массой 2 кг плавает в воде. В равновесии ρgV=mg. Сокращаем g и получаем V=m/ρ=2/1000=0,002 м³, или 2 л.

Типичные ошибки

• Подставляют плотность тела. В F_A=ρgV нужна плотность среды.
• Берут полный объём при частичном погружении. Нужен вытесненный объём.
• Сравнивают только плотности. Надёжный метод — сначала сравнить силы для заданного состояния.
• Считают, что масса уменьшилась. Меняется показание опоры или подвеса, но не масса тела.
• Оставляют см³. Для формулы в СИ переведите объём в м³.

Задачи для самопроверки

1. В воду полностью погружено тело объёмом 500 см³. Примите g=10 м/с². Найдите F_A.
2. Объём погружённой части 0,003 м³, плотность жидкости 800 кг/м³, g=10. Найдите силу.
3. Тело массой 4 кг испытывает F_A=30 Н при g=10. Куда направлена результирующая?
4. Почему стальной корабль может плавать?

Ответы

1. 500 см³=0,0005 м³; F_A=5 Н.
2. 24 Н.
3. Вес 40 Н, результирующая 10 Н вниз.
4. Полая конструкция вытесняет большой объём воды; её средняя плотность вместе с воздухом может быть меньше плотности воды.

Частые вопросы

Действует ли закон в воздухе?

Да. Воздух — газ, и тело вытесняет объём воздуха. Обычно эффект мал, но для воздушных шаров он определяющий.

Зависит ли сила от глубины?

В несжимаемой жидкости постоянной плотности для полностью погружённого тела фиксированного объёма — нет. Разность давлений определяется высотой тела, а не абсолютной глубиной.

Почему большой корабль не тонет?

Он вытесняет воду, вес которой равен весу корабля, до того как палуба окажется под водой. Важны форма и средняя плотность всей конструкции.

Почему одна и та же формула объясняет плавание и погружение? Ответ начинается с выбора системы и сравнения сил. Для продолжения работы с моделями посмотрите программу курса «Научное мышление» и выберите следующую тему для исследования.

Материал подготовлен редакцией STEMskills. Об образовательном проекте.