Формула полной вероятности применяется, когда событие A может произойти через одну из попарно несовместных гипотез H₁,…,Hₙ, которые вместе исчерпывают все варианты: P(A)=ΣP(Hᵢ)P(A|Hᵢ).
Знак Σ означает сумму по всем перечисленным гипотезам. Запись P(A|Hᵢ) читается «вероятность события A при условии гипотезы Hᵢ». Для каждого варианта умножьте его вероятность на вероятность события внутри этого варианта, затем сложите полученные вклады.
Условия применения
- В одном испытании реализуется ровно одна гипотеза.
- Гипотезы образуют полную группу: ΣP(Hᵢ)=1.
- В школьной модели каждая гипотеза имеет положительную вероятность P(Hᵢ)>0, чтобы обычная условная вероятность P(A|Hᵢ) была определена.
- Для каждой гипотезы известна P(A|Hᵢ).
Если термины пока непривычны, повторите основы теории вероятностей.
Как читать дерево вероятностей
Начало
├─ H₁: P(H₁) ── A: P(A|H₁) → вклад P(H₁)·P(A|H₁)
└─ H₂: P(H₂) ── A: P(A|H₂) → вклад P(H₂)·P(A|H₂)
P(A) = сумма вкладовВдоль одного пути вероятности умножают: сначала должна реализоваться Hᵢ, затем A при этой гипотезе. Разные пути Hᵢ→A несовместны, поэтому их вклады складывают. Итог — взвешенное среднее условных вероятностей.
Решённая задача о поставщиках
70% товара приходит от первого поставщика и 30% от второго. Доля брака у них 2% и 5%. Обозначим H₁ — первый поставщик, H₂ — второй, A — брак. Тогда P(A)=0,7·0,02+0,3·0,05=0,014+0,015=0,029, то есть 2,9%.
Алгоритм решения сюжетной задачи
- Назовите событие A, вероятность которого нужно найти.
- Выделите причины или источники Hᵢ. Проверьте, что они не пересекаются и покрывают все случаи.
- Выпишите P(Hᵢ) и проверьте их сумму.
- Выпишите P(A|Hᵢ), не перепутав направление условия.
- Умножьте вероятности вдоль каждого пути и сложите вклады.
- Проверьте: результат лежит между наименьшей и наибольшей P(A|Hᵢ).
Ещё один пример: выбор урны
Первую урну выбирают с вероятностью 0,4, вторую — с вероятностью 0,6. В первой красный шар выпадает с вероятностью 0,3, во второй — 0,8. Тогда P(красный)=0,4·0,3+0,6·0,8=0,12+0,48=0,60.
Не путайте с формулой Байеса
Полная вероятность отвечает на прямой вопрос: какова P(A), если известны возможные причины. Формула Байеса отвечает на обратный вопрос после наблюдения A: какова P(Hᵢ|A). Например, полная вероятность находит общую долю брака, а Байес — вероятность того, что уже найденный брак пришёл от первого поставщика. Разницу условных направлений показывает парадокс Монти Холла.
Типичные ошибки
- Гипотезы не образуют полную группу. Если сумма P(Hᵢ) не равна 1, найдите пропущенный случай.
- Складывают вероятности вдоль пути. Вдоль пути умножают, между несовместными путями складывают.
- Путают P(A|H) и P(H|A). Прочитайте запись словами до вычисления.
- Смешивают проценты и доли. Перед подстановкой 5% превратите в 0,05.
Проверьте себя
1. Машину выбирают с линии 1 с вероятностью 0,8 и с линии 2 с вероятностью 0,2. Доли дефектов 0,1 и 0,4. Найдите P(дефект).
Ответ: 0,8·0,1+0,2·0,4=0,16. Если сложили 0,1+0,4, вы не учли доли продукции линий.
2. В школе 40% учеников из младших классов и 60% из старших. Олимпиаду пишут 10% младших и 25% старших. Какова вероятность, что случайный ученик пишет олимпиаду?
Ответ: H₁ — младшие, H₂ — старшие, A — участие. P(A)=0,4·0,1+0,6·0,25=0,04+0,15=0,19.
3. Вероятности перечисленных гипотез равны 0,5, 0,3 и 0,1. Можно сразу применять формулу?
Ответ: нет, сумма 0,9. Не хватает случая с вероятностью 0,1 либо данные ошибочны.
4. Почему при P(H₁)=0 школьный калькулятор отклоняет данные?
Ответ: обычная формула P(A|H₁)=P(A∩H₁)/P(H₁) потребовала бы деления на ноль. Удалите невозможную гипотезу и заново составьте полную группу из положительно вероятных случаев.
5. Общая доля брака уже найдена. Нужно определить вероятность поставщика H₁ при условии брака A. Какая формула нужна?
Ответ: формула Байеса, потому что ищется обратная условная вероятность P(H₁|A), а не P(A).
Полная вероятность объединяет несколько путей к одному событию. Чтобы выбрать дальнейшие занятия о случайности и вероятностных моделях, посмотрите программу курса «Основы вероятности».
1 комментарий к “Формула полной вероятности: объяснение и задачи”