Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника изнутри, а описанная проходит через все его вершины. У каждого невырожденного треугольника обе окружности существуют и единственны. Центр вписанной окружности треугольника находят на пересечении биссектрис, описанной — на пересечении серединных перпендикуляров.
Для произвольного многоугольника существование каждой из этих окружностей нужно проверять отдельно.
Представьте учебную задачу: по осколку края тарелки нужно восстановить её круглый обод. Если край действительно был частью окружности, три разные точки, не лежащие на одной прямой, однозначно задают её центр и радиус. Например, найденный радиус 12 см даст диаметр 24 см. Но это вывод модели: у реального осколка есть повреждения и погрешности измерения, а форма древней посуды могла отличаться от идеального круга. Три точки определяют окружность, но сами по себе не доказывают, что весь обод был именно таким.
Радиусы двух окружностей треугольника связаны неравенством R ≥ 2r: радиус описанной окружности как минимум вдвое больше радиуса вписанной. Равенство достигается только у равностороннего треугольника. Результат известен как неравенство Эйлера; в историческом исследовании Дж. Маккея воспроизведена более ранняя работа Уильяма Чаппла, датируемая 1746 годом. Название теоремы не всегда указывает на её первого исследователя.
Что такое вписанная окружность?
Представьте, что вам дали треугольный кусок фанеры и попросили вырезать из него самый большой круг, какой только возможно. Как ни крутите, у самого большого круга не останется зазора: он упрётся во все три стороны сразу. Этот круг и ограничивает вписанная окружность — окружность, которая лежит внутри фигуры и касается каждой её стороны ровно в одной точке.
Слово «касается» здесь ключевое: у окружности и каждой стороны ровно одна общая точка, а радиус к точке касания перпендикулярен стороне. Образ контакта круглого колеса с прямой дорогой помогает это представить в плоской модели. Если круг внутри треугольника не касается всех трёх сторон, он не максимален: можно подобрать более крупный круг, при необходимости сместив центр, а не только увеличивая радиус на прежнем месте.
Что такое описанная окружность?
Теперь наоборот: окружность проходит через все вершины вписанного в неё многоугольника. В модели тарелки из начала статьи предполагаем, что край осколка — дуга окружности. Отметьте на ней три разные точки, постройте к двум получившимся хордам серединные перпендикуляры: их пересечение даст центр этой окружности. Дальше измерьте расстояние до любой из трёх точек — радиус. Такой чертёж восстанавливает геометрическую модель обода, а не доказывает точность формы реального предмета.
Тот же приём используют реставраторы, восстанавливая колёса старинных повозок по уцелевшему фрагменту обода, и токари, когда нужно найти центр уже выточенного диска.
Где находится центр вписанной окружности?
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Она равноудалена от всех трёх сторон, и это расстояние как раз и есть радиус r.
Почему именно биссектрисы? У биссектрисы есть замечательное свойство: каждая её точка находится на одинаковом расстоянии от двух сторон угла. Возьмём точку, где пересекаются биссектрисы углов A и B. Из-за первой биссектрисы она равноудалена от сторон угла A, из-за второй — от сторон угла B. Значит, она равноудалена сразу от всех трёх сторон треугольника — идеальное место для центра окружности, которая должна дотянуться до каждой стороны. Три биссектрисы всегда пересекаются в одной точке, поэтому вписанная окружность существует у любого треугольника.
Где находится центр описанной окружности?
Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Логика зеркальная: любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Точка пересечения всех трёх перпендикуляров равноудалена от всех трёх вершин — это расстояние и есть радиус R.
В отличие от центра вписанной окружности, который всегда сидит внутри треугольника, центр описанной может выходить наружу:
- у остроугольного треугольника он лежит внутри;
- у прямоугольного — точно на середине гипотенузы;
- у тупоугольного — снаружи, за стороной напротив тупого угла.
По каким формулам находить радиусы r и R?
Обе формулы опираются на площадь треугольника S и его стороны a, b, c:
| Радиус | Формула | Что нужно знать |
|---|---|---|
| Вписанная, r | r = S / p | площадь и полупериметр p = (a + b + c) / 2 |
| Описанная, R | R = abc / (4S) | все три стороны и площадь |
| Описанная, R | R = a / (2·sin α) | сторона и противолежащий угол (теорема синусов) |
| Равносторонний, сторона a | r = a√3 / 6, R = a√3 / 3 | только сторону; здесь R = 2r |
Формула r = S / p легко объясняется на пальцах. Соедините центр I с вершинами — треугольник распадётся на три маленьких, у каждого из которых основание — сторона треугольника, а высота — радиус r. Сложим площади: S = ar/2 + br/2 + cr/2 = pr. Отсюда r = S / p.
Проверим на классическом треугольнике со сторонами 6, 8, 10. Полупериметр p = 12, площадь S = 24 (это прямоугольный треугольник: 6² + 8² = 10²). Тогда r = 24 / 12 = 2, а R = (6·8·10) / (4·24) = 480 / 96 = 5.
Как найти r и R в прямоугольном треугольнике?
Для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c формулы упрощаются до предела:
- r = (a + b − c) / 2 — радиус вписанной окружности;
- R = c / 2 — радиус описанной, а её центр лежит ровно на середине гипотенузы.
Почему R = c / 2 — красивейший факт школьной геометрии. Впишем прямоугольный треугольник в окружность: прямой угол опирается на гипотенузу, а вписанный угол в 90° всегда опирается на диаметр. Значит, гипотенуза — это диаметр описанной окружности, и радиус равен её половине. Достроить такой треугольник до прямоугольника — второй способ увидеть то же самое: диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, точка их пересечения равноудалена от всех четырёх вершин.
Где вписанные и описанные окружности встречаются в жизни?
Для школьника и мастерской: задача «вырезать самый большой круг из треугольного куска материала» — это в чистом виде поиск вписанной окружности. Столяр, выпиливающий круглую столешницу из обрезка, кондитер, вырезающий круглый корж из треугольного пласта теста, — все они, не подозревая, ищут точку пересечения биссектрис.
В инженерной модели центр круглой детали можно найти по трём неколлинеарным точкам края. Реальные измерения требуют учёта погрешностей: три касания определяют окружность, но не проверяют круглость всего отверстия; для такой проверки нужны дополнительные измерения. В геодезической задаче Потенота положение определяют по углам между направлениями на известные ориентиры, и описанные окружности помогают построению при подходящей конфигурации. Для круглого фонтана в треугольной площадке радиус максимального круга равен r = S / p. У выпуклой многоугольной площадки эта формула работает лишь при существовании окружности, касающейся всех сторон. Произвольному многоугольнику автоматически приписывать такой радиус нельзя.
Какие четырёхугольники дружат с окружностями?
С треугольниками окружностям легко: подходят все без исключения. С четырёхугольниками — уже отбор:
- Окружность можно вписать в четырёхугольник, только если суммы его противоположных сторон равны: a + c = b + d. Например, в любой ромб окружность вписывается, а в прямоугольник со сторонами 3 и 5 — нет.
- Окружность можно описать около четырёхугольника, только если суммы его противоположных углов равны 180°. Любой прямоугольник подходит, а ромб без прямых углов — нет.
- Квадрат — отличник: у него есть и вписанная, и описанная окружности, и обе с центром в одной точке.
Задачи для самопроверки
Задача 1. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.
Показать решение
Полупериметр p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21. По формуле Герона S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84. Тогда r = S / p = 84 / 21 = 4, а R = abc / (4S) = 13 · 14 · 15 / 336 = 2730 / 336 = 8,125.
Задача 2. Найдите r и R для равностороннего треугольника со стороной 6.
Показать решение
r = a√3 / 6 = 6√3 / 6 = √3 ≈ 1,73; R = a√3 / 3 = 2√3 ≈ 3,46. Заметьте: R = 2r — неравенство Эйлера превратилось в равенство, так бывает только у равностороннего треугольника.
Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найдите радиусы обеих окружностей.
Показать решение
Гипотенуза c = √(25 + 144) = 13. Радиус вписанной окружности r = (5 + 12 − 13) / 2 = 2. Радиус описанной R = c / 2 = 6,5, и её центр — середина гипотенузы.
Как окружности изучали в «Началах»?
Четвёртая книга «Начал» Евклида, созданных около 300 года до нашей эры, посвящена вписанным и описанным фигурам: как вписать окружность в треугольник, как описать её около него, как поступить с квадратом и правильным пятиугольником. Циркуль и линейка без делений — весь инструментарий, которым эти задачи решаются до сих пор на уроках геометрии, спустя 2300 лет.
А связь между двумя окружностями нашли уже в Новое время: расстояние d между центрами I и O подчиняется формуле d² = R² − 2Rr. Из неё мгновенно следует неравенство R ≥ 2r: квадрат расстояния не может быть отрицательным. Формулу называют формулой Эйлера, хотя Уильям Чаппл опередил великого математика почти на два десятилетия — истории науки такие сюжеты знакомы.
Почему у равностороннего треугольника всё сходится в одну точку?
Подставьте в формулу Эйлера R = 2r — получится d² = 2r(2r − 2r) = 0. Расстояние между центрами исчезло: у равностороннего треугольника вписанная и описанная окружности становятся концентрическими, а вместе с ними в одной точке встречаются биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры. Для сравнения треугольников разного размера удобно разделить формулу на R²: (d/R)² = 1 − 2r/R. Чем меньше отношение r/R, тем больше относительное расстояние d/R между центрами. Само d без учёта масштаба не измеряет форму: при увеличении всего треугольника оно тоже увеличится. Так две окружности позволяют связать форму, радиусы и положение центров точным равенством.
Частые вопросы
Чем отличается вписанная окружность от описанной?
Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника изнутри, описанная проходит через все его вершины. Для треугольника центр вписанной — пересечение биссектрис, описанной — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам. Центры не обязательно различны: у равностороннего треугольника они совпадают. У произвольного многоугольника нужная окружность может не существовать.
В любой ли треугольник можно вписать окружность?
Да. В любой треугольник можно вписать окружность, и около любого треугольника можно описать окружность — обе существуют всегда и обе единственны. С четырёхугольниками так уже не получается: для вписанной окружности нужны равные суммы противоположных сторон, для описанной — суммы противоположных углов по 180°.
Как найти радиус вписанной окружности?
Разделите площадь треугольника на полупериметр: r = S / p, где p = (a + b + c) / 2. Например, для треугольника со сторонами 6, 8, 10 площадь равна 24, полупериметр 12, значит r = 2. Для прямоугольного треугольника есть короткий путь: r = (a + b − c) / 2.
Где центр описанной окружности прямоугольного треугольника?
Ровно на середине гипотенузы. Прямой угол — это вписанный угол 90°, а такой угол всегда опирается на диаметр окружности. Поэтому гипотенуза совпадает с диаметром, радиус равен её половине: R = c / 2, и никакие другие вычисления не нужны.
Может ли центр описанной окружности лежать вне треугольника?
Может — так происходит у любого тупоугольного треугольника: центр выходит наружу за сторону, лежащую напротив тупого угла. У остроугольного треугольника центр находится внутри, у прямоугольного — точно на границе, на середине гипотенузы. Центр вписанной окружности, напротив, всегда остаётся внутри.