Хорда окружности — это отрезок с концами в двух разных точках окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр, и самая длинная из хорд: её длина равна 2r. Если расстояние от центра до хорды равно d, её длина равна 2√(r² − d²), где r — радиус; например, при r = 5 и d = 3 получается 8.
Тетива лука помогает представить хорду: она соединяет концы изогнутой части прямым отрезком. Однако настоящий лук не обязан быть дугой окружности; это только наглядный образ. Греческое слово «хорда» означает «струна, тетива». В геометрической задаче важно проверять не сходство с предметом, а условие: оба конца отрезка должны лежать на одной окружности.
Слово «хорда» (греч. χορδή — «струна, жила») математика делит с биологией: у зародышей позвоночных есть хорда — упругая «спинная струна», предшественник позвоночника. И струна, и геометрический отрезок, и орган — всё это натянутая линия между двумя точками.
Что такое хорда окружности простыми словами?
Возьмите круглую пиццу и сделайте один прямой разрез, не проходящий через середину. Линия разреза соединила две точки на краю — это хорда. Отрезанный кусочек в форме «полумесяца наоборот» математики называют сегментом, а часть края пиццы между концами разреза — дугой. Хорда как бы «стягивает» дугу, поэтому говорят: хорда стягивает дугу — совсем как тетива стягивает лук.
Чем хорда отличается от диаметра и радиуса?
Все три отрезка живут внутри окружности, но играют разные роли:
- Хорда соединяет две любые точки окружности. Через каждую пару точек проходит ровно одна хорда.
- Диаметр — частный случай хорды, которая проходит через центр. Это самая длинная из всех хорд, её длина равна 2r.
- Радиус — вообще не хорда: он соединяет центр с точкой окружности, то есть только один его конец лежит на самой окружности.
Почему диаметр — самая длинная хорда? Подумайте: чем дальше хорда от центра, тем она короче — окружность «сжимает» её с боков. Максимум достигается, когда расстояние до центра равно нулю, то есть когда хорда проходит через сам центр.
Какие свойства есть у хорды?
Четыре свойства, на которых держатся почти все школьные задачи:
- Прямая через центр, перпендикулярная хорде, делит её пополам. Обратное утверждение формулируют для хорды, не являющейся диаметром: прямая через центр и середину такой хорды перпендикулярна ей. У диаметра середина совпадает с центром и сама по себе не задаёт вторую точку прямой.
- В одной окружности равные хорды находятся на равных расстояниях от центра — и наоборот.
- В одной окружности равные хорды стягивают равные меньшие дуги и равные большие дуги; сравнивать нужно дуги одного вида.
- Если хорды AB и CD пересекаются в точке M внутри окружности, произведения их отрезков равны: AM · MB = CM · MD.
Первое свойство — не магия, а спрятанная симметрия. Соедините центр O с концами хорды A и B: получатся два радиуса, треугольник AOB — равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, совпадает с медианой: она и делит хорду пополам.
Как найти длину хорды?
Способ 1. Через расстояние от центра до хорды
Если известны радиус r и расстояние d от центра до хорды, работает теорема Пифагора. Половина хорды, расстояние d и радиус образуют прямоугольный треугольник, поэтому длина хорды равна 2·√(r² − d²). Пример: r = 5 см, d = 3 см. Тогда хорда равна 2·√(25 − 9) = 2·√16 = 2·4 = 8 см — знаменитый «египетский» треугольник 3-4-5 в действии.
Способ 2. Через центральный угол
Если известен центральный угол α, опирающийся на хорду, то её длина равна 2r·sin(α/2). Пример: r = 10 см, α = 60°. Хорда равна 2 · 10 · sin 30° = 20 · 0,5 = 10 см. Заметьте красивое совпадение: хорда получилась равной радиусу. Так будет всегда при угле 60° — треугольник из двух радиусов и хорды становится равносторонним.
Где хорды используются в жизни?
Если профиль арки моста задан дугой окружности, её пролёт можно моделировать хордой. При длине пролёта L и высоте подъёма h радиус такой круговой дуги равен R = L²/(8h) + h/2: формула получается из (R − h)² + (L/2)² = R². Например, при L = 8 м и h = 2 м получим R = 5 м. Но не каждая арка круговая: для параболического или другого профиля эта формула не подходит. В куполах действует та же оговорка, а расчёт нагрузок требует данных о конструкции и материалах, не только геометрии дуги.
В авиации тоже используют термин «хорда»: у профиля крыла это прямой отрезок от передней до задней кромки. Профиль не обязан быть окружностью, поэтому формулу хорды окружности к нему автоматически не применяют. Длина хорды служит масштабом для описания профиля: например, положение точки можно указать как долю этой длины. Подъёмная сила зависит не от одной хорды, а также от площади и формы крыла, скорости потока и других условий. Общее у двух употреблений слова — прямой отрезок между выбранными крайними точками кривой.
Попробуйте сами
Три задачи — от разминки до хитрой. Решите, потом сверьтесь с ответом.
Задача 1. Радиус окружности 13 см, хорда удалена от центра на 5 см. Найдите длину хорды.
Хорда = 2·√(r² − d²) = 2·√(169 − 25) = 2·√144 = 2 · 12 = 24 см. Снова прямоугольный треугольник с целыми сторонами: 5-12-13.
Задача 2. Хорда равна радиусу окружности. Чему равен меньший центральный угол, опирающийся на эту хорду?
Два радиуса и хорда образуют треугольник, у которого все три стороны равны r, — равносторонний. Значит, каждый его угол равен 60°, и центральный угол равен 60°.
Задача 3. Две хорды пересекаются внутри окружности. Одна разделилась на отрезки 4 и 9, у второй один из отрезков равен 6. Найдите второй отрезок.
По свойству пересекающихся хорд: 4 · 9 = 6 · x, то есть 36 = 6x и x = 6. Вторая хорда точкой пересечения разделилась пополам: 6 и 6.
Как хорды привели к тригонометрии?
Хорды — прабабушки тригонометрии. Во II веке до нашей эры греческому астроному Гиппарху приписывают составление таблицы хорд: для разных центральных углов в ней были заранее посчитаны длины стягивающих хорд. Зачем? Чтобы вычислять положения звёзд и планет: небо для древних — гигантская окружность, а расстояния между светилами удобно мерить хордами. Три века спустя Клавдий Птолемей включил в свой «Альмагест» таблицу хорд с шагом в полградуса — по ней астрономы работали больше тысячи лет, пока таблицы хорд не вытеснил более удобный синус.
Струна, спрятанная в синусе
Напоследок — детективная история. Индийские математики называли половину хорды словом «джива» — «тетива лука». Арабские учёные записали его как «джиба», но в арабском письме гласные опускаются, и позже переводчики прочли те же согласные как «джайб» — «пазуха, вырез одежды». Переводя арабские тексты на латынь в XII веке, европейцы честно перевели «пазуху»: sinus. Так родилось слово «синус» — результат ошибки прочтения. Каждый раз, нажимая кнопку sin на калькуляторе, вы прикасаетесь к тетиве лука, натянутой две тысячи лет назад.
Вопросы и ответы
Что такое хорда окружности?
Хорда — это отрезок, который соединяет две любые точки окружности. Она «стягивает» дугу, заключённую между её концами, как тетива стягивает лук. Через любые две точки окружности можно провести ровно одну хорду, а самая длинная хорда проходит через центр.
Является ли диаметр хордой?
Да. Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности, и одновременно самая длинная из всех возможных хорд. Его длина равна двум радиусам: d = 2r. А вот радиус хордой не является: только один его конец лежит на окружности.
Как найти длину хорды окружности?
Два основных способа. Если известно расстояние d от центра до хорды: длина = 2·√(r² − d²). Если известен центральный угол α: длина = 2r·sin(α/2). Например, при r = 5 и d = 3 хорда равна 2·√(25 − 9) = 8.
Может ли хорда быть длиннее диаметра?
Нет. Чем дальше хорда от центра окружности, тем она короче, поэтому максимальная длина достигается у хорды, проходящей через центр, — у диаметра. Любая другая хорда строго короче 2r. Это легко проверить по формуле 2·√(r² − d²): при d > 0 результат всегда меньше 2r.
Что значит «хорда стягивает дугу»?
Концы хорды делят окружность на две дуги. Про хорду говорят, что она «стягивает» каждую из них — обычно имеют в виду меньшую. Образ взят у лука: тетива соединяет концы изогнутой дуги и как бы стягивает её. Равные хорды в одной окружности стягивают равные дуги.