Системы линейных уравнений и неравенств
Что такое система уравнений и её решение. Решение систем графически: пересечение прямых, приближённые решения, формы y = kx + b и через точку, случаи без решений и с бесконечным числом решений. Решение алгебраически: подстановка и метод сложения, масштабирование уравнений. Системы линейных неравенств: построение, область допустимых решений, чтение графиков и особые случаи.
Уроки этого курса доступны после регистрации. Демо без аккаунта показывает механику платформы на примере задачи с роботом по алгоритмике.
Два ограничения
Пример показывает устройство урока. Чтобы решать задания, откройте курс после регистрации.
24 коротких уроков
По 7-10 минут: можно пройти за один подход или возвращаться по частям.
Интерактив вместо конспекта
Ученик решает задачу, проверяет ответ и видит объяснение следующего шага.
Спокойный старт
Демо платформы доступно без аккаунта. Для уроков выбранного курса и сохранения прогресса нужна регистрация.
Системы линейных уравнений как пересечение условий
Курс помогает понять, что система — это несколько ограничений одновременно. Подходит тем, кто уже решает линейные уравнения и готов к графическому смыслу.
Два ограничения
Узнайте, как два ограничения на переменные образуют систему уравнений.
Решение системы
Найдите единственную точку, удовлетворяющую обоим ограничениям системы уравнений.
Составление системы
Запишите уравнения-ограничения и найдите решение системы графически.
Если найденная пара подходит только одному уравнению, урок показывает второе условие и возвращает к пересечению.
Откройте шаг «Два ограничения» и выполните действие в модели.
Ошибка не заканчивает задание: она запускает объяснение на схеме.
Ученик видит идею на модели и переносит её в самостоятельное решение.
Маршрут курса
От двух линейных условий к системам и областям решений.
Два ограничения
Узнайте, как два ограничения на переменные образуют систему уравнений.
Решение системы
Найдите единственную точку, удовлетворяющую обоим ограничениям системы уравнений.
Составление системы
Запишите уравнения-ограничения и найдите решение системы графически.
График системы
Прочитайте координаты точки с графика и истолкуйте их как покупку. Убедитесь, что все точки одной прямой дают одинаковое число предметов.
Построение ограничений
Постройте прямые-ограничения через точки пересечения с осями, затем найдите их пересечение — решение системы.
Решение систем графически
Точка пересечения двух прямых — решение системы уравнений.
Приближённые решения
Когда точка пересечения прямых не попадает на узел сетки, можно оценить приближённое решение.
Уравнение вида y = kx + b и системы
По угловому коэффициенту и перехвату строим прямые и находим решение системы.
Уравнение через точку и угловой коэффициент
Уравнение прямой через точку и угловой коэффициент: y = k(x − x₀) + y₀.
Системы без решений
Параллельные прямые никогда не пересекаются — такая система не имеет решений.
Системы с бесконечно многими решениями
Равносильные уравнения дают один и тот же график — такая система имеет бесконечно много решений.
Решение подстановкой
Метод подстановки: заменить выражение равным ему и решить систему.
Выразить, затем подставить
Иногда перед подстановкой нужно выразить переменную из одного уравнения.
Сложение уравнений
Метод сложения: складываем уравнения, чтобы исключить переменную с противоположными коэффициентами.
Масштабирование уравнения
Умножение обеих частей уравнения на число даёт равносильное уравнение — метод сложения.
Масштабирование обоих уравнений
Иногда для метода сложения нужно масштабировать оба уравнения.
Два ограничения-неравенства
Точки, удовлетворяющие обоим ограничениям, составляют решение системы неравенств.
Построение системы неравенств
Каждое неравенство — заштрихованная область; решение системы лежит в пересечении областей.
Составление системы неравенств
По словесным условиям выбирайте знаки неравенств и составляйте систему.
Запись решений системы
Условия записываются как неравенства; решение системы — пересечение их областей решений.
Построение систем неравенств
Постройте каждое неравенство и найдите пересечение заштрихованных областей — это и есть решение системы.
Чтение графиков систем неравенств
Точка входит в решение системы, если она лежит в пересечении заштрихованных областей.
Особые случаи систем неравенств
Решение системы неравенств может быть областью, прямой или не существовать вовсе.
Истолкование решений системы
Точка входит в решение только если удовлетворяет каждому ограничению. Строгое неравенство исключает точки на штриховой границе.
Нет перегруза: сначала основная идея, затем проверка понимания и самостоятельное применение.
Ученик сразу видит, где ошибся, и получает объяснение через схему.
Курс строится от первого знакомства с идеей к более самостоятельным задачам.
После регистрации можно продолжить курс и вернуться к сложным темам.
Комплексная плоскость
Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая формы, арифметика, модуль и аргумент, сопряжённые, умножение и деление, повороты на комплексной плоскости.
Линейная алгебра
Векторы и векторные пространства, системы линейных уравнений и метод Гаусса-Жордана, матрицы и линейные преобразования, определители и внешняя алгебра, собственные значения и собственные векторы, пространства со скалярным произведением и сингулярное разложение. С приложениями к цепям Маркова, теории кодирования, криптографии, сжатию изображений и распознаванию образов.
Полярная система координат
Полярные координаты, сетка, длины дуг, радианы, преобразования и переходы между полярными и декартовыми координатами.
Системы уравнений
От закономерностей к выражениям: линейные, квадратичные, показательные и периодические закономерности; построение, сравнение и равносильность алгебраических выражений.
Чем система отличается от одного уравнения?
Одно уравнение задаёт одно условие, система требует выполнить несколько условий одновременно.
Что нужно знать перед курсом?
Линейные уравнения, координаты и базовые графики прямых.
Будут ли неравенства?
Да, курс подводит к областям решений и системам линейных неравенств.
Где пригодятся системы?
В задачах на смеси, движение, экономику, оптимизацию и моделирование ограничений.
Начните курс бесплатно
Создайте аккаунт, чтобы открыть уроки этого курса и сохранять прогресс.