Комплексная плоскость

Введение мнимой единицы i = √(−1) и арифметика с ней: i² = −1, умножение и сложение мнимых чисел.

Вводим мнимую единицу i, решаем уравнения x²=a при отрицательном a и разбираемся, чем действительные числа отличаются от мнимых.

Научитесь отмечать комплексные числа вида a+bi на комплексной плоскости.

Научитесь определять комплексное число по положению точки на комплексной плоскости.

Решаем уравнения вида (x−a)² = отрицательное число и приходим к числам вида a+bi: действительная и мнимая части.

Складывать и вычитать комплексные числа, обрабатывая действительные и мнимые части как подобные слагаемые.

Научитесь складывать комплексные числа, отдельно складывая действительные и мнимые части.

Научитесь вычитать комплексные числа, вычитая действительные и мнимые части по отдельности.

Модуль комплексного числа — расстояние от точки до начала координат. Формула |z| = √(a² + b²).

Расстояние между двумя точками комплексной плоскости как модуль их разности: s = |z − w|.

Умножение комплексного числа на действительное: c(a+bi) = ca+cbi, геометрический смысл масштабирования.

Умножение комплексного числа на действительный скаляр: правило |cz| = |c|·|z| и его геометрический смысл.

Упрощение выражений с мнимой единицей через замену i² = −1 и вычисление старших степеней i.

Умножение комплексного числа на мнимую единицу i: правило i(a+bi) = -b+ai и геометрический смысл — поворот на 90°.

Умножение комплексного числа на i поворачивает точку на 90° против часовой стрелки и сохраняет её модуль.

Степени мнимой единицы как повороты на комплексной плоскости: i² = −1 (180°), i³ = −i (270°).

Умножение комплексного числа на ci: масштабирование в c раз и поворот на 90° вокруг начала координат.

Умножение двух комплексных чисел через распределительный закон с применением тождества i² = −1.

Научитесь решать квадратные уравнения с комплексными корнями и отмечать сопряжённые пары на комплексной плоскости.

Комплексно-сопряжённое число получается сменой знака мнимой части: a+bi → a−bi. Геометрически — отражение относительно действительной оси.

Сумма комплексного числа и сопряжённого к нему равна 2a (действительное), разность равна 2bi (чисто мнимое).

Произведение комплексного числа на сопряжённое: $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$. Результат всегда действителен.

Функции Re(z) и Im(z): линейность при сложении, поведение при сопряжении, произведение z·z̄.

Сопряжение и сложение можно выполнять в любом порядке: $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$.

Деление комплексного числа на мнимую единицу i: геометрический смысл (поворот на 90° по часовой стрелке) и алгебраическое тождество z/i = −iz.

Деление комплексных чисел: умножение числителя и знаменателя на сопряжённое, результат в форме $a+bi$.

Деление комплексных чисел через умножение на сопряжённое к знаменателю: от конкретных примеров до общей формулы.

Умножение на комплексное число — масштабирование и поворот вокруг начала координат.

Модуль r = √(a²+b²) и аргумент θ (угол от положительной действительной оси) комплексного числа.

Научитесь приводить аргумент комплексного числа к главному значению в диапазоне −π < θ ≤ π.

Научитесь вычислять главное значение аргумента комплексного числа с поправкой на четверть.

Вычисляем действительную и мнимую части комплексного числа из тригонометрической формы r(cosθ + i sinθ).

Умножение комплексных чисел складывает их аргументы: повороты при умножении на $i$, $-i$ и $-1$.

Геометрический вывод формулы синуса суммы на единичной окружности.

Геометрический вывод формулы косинуса суммы на единичной окружности.

Алгебраический вывод правила сложения аргументов через действительную и мнимую части произведения.

Находим произведения комплексных чисел единичного модуля, складывая их аргументы.

Перемножаем модули и складываем аргументы комплексных чисел.

Находим комплексный множитель по масштабированию и повороту точек.

Делим модули и вычитаем аргументы комплексных чисел.

Находим комплексный делитель по изменению масштаба и повороту точек.

Сохраняем модуль и меняем знак аргумента.

Сопрягаем произведение по множителям.

Возводим модуль в степень и умножаем аргумент.

Меняем порядок сопряжения и возведения в степень.

Извлекаем корень из модуля и делим главный аргумент.

Находим главный корень из i и проверяем его квадрат.

Находим второй квадратный корень сдвигом на π.

Находим все кубические корни через равномерный шаг аргумента.

Выбираем все корни единицы с равномерным шагом аргумента.