Линейная алгебра

Векторы как стрелки на плоскости: сложение, умножение на скаляр и определение векторного пространства.

Волны удовлетворяют всем аксиомам векторного пространства — значит, их можно законно «оборачивать» в кет-нотацию.

Открываем силу абстракции: как одни и те же векторные идеи работают и для функций-сигналов, и для точек плоскости.

Записываем линейные системы как расширенные матрицы и решаем элементарными преобразованиями строк.

Прямой и обратный ход метода Гаусса-Жордана: приведение расширенной матрицы к приведённому ступенчатому виду.

Строим простую цепь Маркова и находим стационарное состояние методом Гаусса-Жордана.

Доказываем, что пространство стрелок P изоморфно ℝ²: замкнутость, линейные комбинации, линейная независимость и изоморфизм.

Базисы, координаты и скалярное произведение в вещественном евклидовом пространстве.

Понять, что такое подпространство и линейная оболочка, и научиться проверять замкнутость подмножеств.

Понятие базиса, координатного вектора и размерности пространства — основа для вычислений в абстрактных векторных пространствах.

Ядро и пространство столбцов матрицы, теорема о ранге и дефекте.

Коды Хэмминга через ядро матрицы и теорему о ранге и дефекте.

Матрица инцидентности графа: ядро описывает циклы, ранг — связные компоненты. Отсюда выводим формулу Эйлера.

Матрица как линейное преобразование: произведение матрицы на вектор, область определения и значений, инъективность, сюръективность и биективность.

Линейные преобразования, их образ и ядро, изоморфизм, матричное представление линейного отображения.

Произведение матриц как композиция линейных отображений: определение, вычисление и «подводные камни» — некоммутативность, отсутствие закона сокращения, элементарные матрицы.

Определение, критерий существования и алгоритм нахождения обратной матрицы; связь с линейной независимостью столбцов и заменой базиса.

Преобразование Хаара отделяет средние оттенки от деталей, создавая разреженную матрицу для хранения изображений.

Шифрование и дешифрование сообщений с помощью линейных преобразований и обратных матриц.

Бивекторы и внешнее произведение как первый шаг к определителям. Геометрический смысл: ориентированный параллелограмм и величина ad−bc.

Тривекторы как ориентированный объём параллелепипеда, критерий обратимости матриц 3×3 через внешнее произведение и введение определителя.

Определители матриц элементарных преобразований строк, мультипликативность определителя и критерий обратимости.

Геометрический смысл внешнего произведения: ориентированная площадь и объём. Определитель как коэффициент искажения объёма при линейном отображении.

Сопряжённое пространство как множество линейных функционалов, сопряжённый базис, канонический изоморфизм через скалярное произведение и теорема Рисса о представлении.

Тензоры как полилинейные отображения, симметричные и антисимметричные формы, перестановки и знак, симметризация и антисимметризация, прямая сумма подпространств форм.

Тензорное произведение форм, его алгебраические свойства, базис пространства форм F^r(V) и симметрическое произведение с базисом S^r(V) размерности C(n+r-1, r).

Антисимметричное внешнее произведение ∧, размерность пространства антисимметричных форм, мультивекторы как критерий базиса и введение определителя матрицы.

Собственные значения и собственные векторы через призму цепей Маркова и диагонализации.

Характеристический многочлен, нахождение собственных значений и подпространств методом Гаусса-Жордана, комплексные собственные значения и кратности.

Критерии диагонализируемости матриц: через кратности собственных значений и через минимальный многочлен.

Определение нормальной матрицы, связь с диагонализируемостью и доказательство главной теоремы через ортогональный базис из собственных векторов.

Жорданова нормальная форма: разложение в прямую сумму корневых подпространств, цепочечный базис и жорданова клетка.

Матрица смежности, степени A^k и спектральная теория графов: рёбра, треугольники и граф Петерсена.

Дискретное отображение кота: перестановка пикселей по модулю N, диагонализация над классами вычетов и малая теорема Ферма.

Как собственные значения и векторы объясняют хаос и периодические точки отображения кота Арнольда.

Аксиоматическое определение скалярного произведения, ортонормированные базисы, приём Фурье для нахождения координат, унитарные матрицы и их спектральные свойства.

Проекции векторов, ортогональная проекция как наилучшее приближение, алгоритм Грама-Шмидта и его связь с QR-разложением матрицы.

Нормальные уравнения, QR-разложение и наилучшее приближённое решение несовместных систем: от проекции на пространство столбцов до оценки относительной погрешности.

Сингулярное разложение через идею наилучшего приближения: правые и левые сингулярные векторы, сингулярные числа, связь с разреженностью и пространством столбцов.

Структурные свойства сингулярных чисел и векторов, практический алгоритм через диагонализацию $A^TA$, вывод и вычисление сингулярного разложения $A=U\Sigma V^T.$ Усечённое и полное разложения.

Теорема Эккарта-Янга и малоранговые приближения — основа сжатия изображений через сингулярное разложение.