Уравнения и кривые

Научитесь находить и проверять точки, удовлетворяющие уравнению кривой.

Найдите неизвестные коэффициенты в уравнении кривой, подставив координаты точек, лежащих на кривой.

Узнайте, как внешне разные уравнения могут задавать одну и ту же кривую.

Найдите самую высокую, самую низкую, крайнюю правую и крайнюю левую точки ограниченных кривых по графику и уравнению.

Определите форму и расположение графика, опираясь только на вид уравнения.

Используйте проверку вертикальной прямой, чтобы определить, какие кривые являются графиками функций.

Исследуйте гиперболу y = 1/x: точки на кривой, недопустимые значения, знак и промежутки.

Узнайте, как прибавление числа к 1/x сдвигает гиперболу по вертикали.

Научитесь горизонтально сдвигать гиперболу заменой знаменателя.

Изучите, как умножение 1/x на константу растягивает или сжимает гиперболу по вертикали.

Сочетайте сдвиги, растяжения и отражения, чтобы преобразовать гиперболу.

Найдите коэффициент растяжения или сдвиг для достижения цели.

Переписывайте уравнения гиперболы из дробной формы в форму-произведение и обратно, применяйте сдвиги и растяжения.

Найдите исключённые значения x и y для гипербол в явной и неявной форме.

Исследуйте две оси симметрии гиперболы y=1/x и то, как они сдвигаются вместе с кривой.

Откройте, как вертикальный сдвиг гиперболы создаёт горизонтальные асимптоты, и научитесь их определять.

Откройте вертикальные асимптоты гипербол, найдя нули знаменателя.

Исследуйте, как чётность показателя определяет симметрию и знак обратной степенной функции.

Узнайте, что такое рациональные функции и как нули знаменателя определяют область определения и вертикальные асимптоты.

Найдите вертикальные асимптоты, приравняв знаменатель рациональной функции нулю.

Найдите координаты выколотых точек рациональных функций, сокращая общие множители.

Используйте нули, асимптоты и знаковый анализ для определения графика рациональной функции.

Определяйте вертикальные асимптоты и нули рациональных функций по их уравнениям.

Применяйте свойства произведения, частного и степени в степени для упрощения выражений.

Упрощайте выражения, сокращая общие множители и применяя правила степеней.

Сокращайте общие множители и применяйте правила степеней для упрощения рациональных выражений.

Разложите числитель и знаменатель рационального выражения, чтобы упростить его.

Научитесь складывать рациональные выражения, приводя их к общему знаменателю и складывая числители.

Находите нули числителя и исключайте точки, где знаменатель равен нулю.

Обнаружьте, что функция возведения в квадрат переводит два аргумента в одно значение, а квадратный корень является её обратной функцией на неотрицательных числах.

Узнайте, почему sqrt(x^2) равно |x|.

Исследуйте, как замена x и y отражает кривую относительно прямой y=x, и откройте для себя функцию квадратного корня.

Научитесь, как сложение числа с функцией квадратного корня сдвигает её график по вертикали и меняет область значений.

Сдвигайте график квадратного корня по горизонтали, изменяя выражение под корнем.

Растягивайте и сжимайте график квадратного корня, умножая на множитель k.

Узнайте, как умножение x на k под корнем растягивает или сжимает график по горизонтали.

Узнайте, как отрицательный множитель под корнем или перед ним меняет область определения и область значений.

Применяйте несколько преобразований одновременно и находите неизвестные коэффициенты.

Находите область определения и область значений функции квадратного корня после сдвигов и отражений.

Определяйте график функции квадратного корня или параболы по вершине, направлению, области определения и области значений.

Узнайте, как функция кубического корня обращает возведение в куб для всех действительных чисел.

Постройте график функции кубического корня как обратной функции возведения в куб, меняя координаты местами.

Изучите чётные степени и обратные операции — корни чётной степени.

Корень нечётной степени как обратная функция — для всех действительных чисел.

Изучите смысл дробного показателя степени и научитесь определять область определения и область значений функций вида y = x^(m/n).

Научитесь упрощать выражения с корнями, используя дробные показатели и свойства степеней.

Находите точки, которые одновременно удовлетворяют всем уравнениям системы.

Связывайте решения f(x)=0 с точками пересечения графика и оси x.

Находите пересечения кривой с горизонтальной прямой, решая f(x)=c.

Определяйте число решений системы по числу пересечений её графиков.

Находите общие точки двух графиков, решая уравнение f(x)=g(x).

Исследуйте отношения между x и y, заданные неявными уравнениями.

Переписывайте неявные уравнения и проверяйте равносильные формы.

Записывайте уравнения окружностей и сравнивайте их расположение.

Связывайте центр и полуоси эллипса с его уравнением.

Находите общие решения окружностей, прямых и других кривых.

Описывайте объединения кривых одним уравнением-произведением.

Проверяйте, удовлетворяет ли точка неравенству, подставляя её координаты.

Описывайте области по разные стороны кривой с помощью неравенств.

Описывайте пересечение областей двух функций системой неравенств.

Описывайте пересечения областей внутри и снаружи двух кривых.