Факториал неотрицательного целого числа n записывают n! и считают так: n! = 1 · 2 · … · n, а 0! = 1. Например, 5! = 120. Он считает порядки n различных предметов, когда каждый используют один раз и важно, кто стоит первым, вторым и дальше.
Представьте пять карточек с разными буквами. Для первого места есть пять выборов, для второго остаётся четыре, затем три, два и один. Поэтому порядков 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Из этой модели вырастает и определение, и быстрый способ сокращать большие факториалы.
| n | n! | Как получить следующее значение |
|---|---|---|
| 0 | 1 | базовое значение |
| 1 | 1 | 1 · 0! |
| 2 | 2 | 2 · 1! |
| 3 | 6 | 3 · 2! |
| 4 | 24 | 4 · 3! |
| 5 | 120 | 5 · 4! |
| 6 | 720 | 6 · 5! |
| 7 | 5040 | 7 · 6! |
| 8 | 40320 | 8 · 7! |
| 9 | 362880 | 9 · 8! |
| 10 | 3628800 | 10 · 9! |
От мест к произведению вариантов
Возьмём три разные игрушки: A, B и C. На первое место можно поставить любую из трёх, после этого для второго остаётся две, а для последнего — одна. По правилу умножения вариантов получаем 3 · 2 · 1 = 6. У каждого выбора первого места есть два продолжения, поэтому три группы по два порядка дают шесть.
Их можно выписать: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Такая проверка подходит для трёх предметов. При пяти или десяти выписывать все строки уже неудобно, но правило выбора места остаётся тем же.
Граница модели важна. Факториал даёт число перестановок только для различимых объектов, когда порядок важен. У двух одинаковых красных кубиков и одного синего видны лишь три ряда: ККС, КСК, СКК, а не 3! = 6. Если порядок не важен, это задача выбора, и повторно посчитанные порядки надо убрать.
Точное определение и быстрый способ считать
Для целого n ≥ 1 факториал определяют произведением всех положительных целых чисел от 1 до n:
n! = 1 · 2 · 3 · … · (n − 1) · n.
Читают: «эн факториал». Из определения сразу следует рекуррентная запись n! = n · (n − 1)!. Например, 7! не нужно собирать от единицы: 7! = 7 · 6! = 7 · 720 = 5040. Рекурсия не заменяет определение, а экономит повторное умножение.
Рекурсию можно увидеть в маленьком дереве решений. Чтобы расставить четыре разные карточки, сначала выберите карточку на первом месте: для каждого из четырёх выборов остаётся задача расставить три остальные карточки. У каждой ветви ровно 3! продолжений, поэтому всего 4 · 3! = 4! = 24 порядка. Аналогично после выбора первого места среди n предметов остаётся (n − 1)! порядков для оставшихся предметов: именно это и записывает формула n! = n · (n − 1)!.
Проверка не должна обрываться на знакомой записи. Для четырёх карточек 3! = 3 · 2 · 1 = 6, значит четыре группы по шесть порядков дают 4 · 6 = 24; прямое произведение 4 · 3 · 2 · 1 даёт те же 24. Затем рекурсия идёт вниз: 3! = 3 · 2!, 2! = 2 · 1!, 1! = 1 · 0!. Она останавливается на 0! = 1, потому что пустой набор имеет один порядок. Без этого базового случая цепочка не дала бы верного 1!.
Такой взгляд полезен не для того, чтобы рисовать огромное дерево, а чтобы не пересчитывать уже решённую часть. Если известно 5! = 120, то 6! равно 6 · 120 = 720, а при вычислении 8! / 6! общая часть 6! уже содержится в обоих выражениях. Остаются только новые решения для двух мест: 8 · 7 = 56. Рекурсия работает для неотрицательных целых и не отменяет проверку условия: одинаковые предметы или неважный порядок меняют задачу.
| Вычисление | Ход | Ответ |
|---|---|---|
| 4! | 4 · 3 · 2 · 1 | 24 |
| 6! | 6 · 5! | 6 · 120 = 720 |
| 8! / 6! | (8 · 7 · 6!) / 6! | 56 |
| 10! / 8! | (10 · 9 · 8!) / 8! | 90 |
В третьей строке нельзя «сократить восьмёрку с шестёркой»: сокращают общий множитель 6!. Запись 8! = 8 · 7 · 6! делает это видимым: 8! / 6! = 8 · 7 = 56. Этот приём особенно полезен в формулах сочетаний и вероятностей.
Тот же ход работает, если сверху факториал больше нижнего. Например, 12! / 9! = (12 · 11 · 10 · 9!) / 9! = 12 · 11 · 10 = 1320. Если же сверху меньший факториал, простой цепочки «лишних множителей» нет: 5! / 7! = 1 / (7 · 6). Сначала перепишите больший факториал через меньший, и знак дроби не собьёт с толку.
Почему 0! равно 1
У пустого ряда есть ровно один порядок: ничего не поставить. Поэтому комбинаторная модель даёт 0! = 1, а не ноль. То же подтверждает рекурсия: 1! = 1 · 0!. Так как 1! = 1, единственное значение 0!, при котором равенство остаётся верным, — 1.
Это базовое соглашение для пустого произведения. Благодаря ему формулы для перестановок и сочетаний работают на границе. Не путайте: 0! = 1, но 0 · 5! = 0.
Рост: почему полный перебор быстро перестаёт работать
При переходе от n! к (n + 1)! мы умножаем ещё на n + 1, и этот множитель всё время растёт. Поэтому уже 7! = 5040, а 10! = 3 628 800. Для n > 1 верно n! < nn, потому что каждый из n множителей не больше n; это полезная верхняя оценка, а не равенство.
Например, 13! = 6 227 020 800. Поэтому задача «проверить все порядки» для большого числа объектов может быть слишком долгой даже для компьютера. Большой факториал не означает, что каждый вариант одинаково вероятен в реальном процессе: это отдельное предположение модели.
Где эта модель встречается
Маршруты и расписания
Если курьер должен посетить 10 разных адресов по одному разу, то порядков посещения 10! = 3 628 800. Это объясняет, почему полный перебор маршрутов быстро становится дорогим. Сам факториал не находит лучший маршрут: для этого нужны расстояния, ограничения и алгоритм выбора. При симметричных расстояниях маршрут в обратном порядке имеет ту же длину, но это дополнительное условие, а не свойство любого расписания.
Выбор без порядка
Факториал помогает убрать повторный счёт. Число способов выбрать 6 разных чисел из 45 равно 45! / (6! · 39!) = 8 145 060. В числителе один и тот же набор появляется в 6! порядках, поэтому деление на 6! оставляет его один раз. Это верно для выбора шести различных объектов без порядка; правила конкретной игры или лотереи могут добавить другие ограничения.
У колоды из 52 различных карт 52! возможных порядков, примерно 8,07 · 1067. Если все эти порядки равновероятны, шанс получить один заранее заданный порядок равен 1 / 52!. Реальная тасовка может не быть идеальной, поэтому огромное число порядков само по себе не доказывает уникальность конкретной раскладки.
Условие «равновероятны» здесь нельзя пропускать. Математика отделяет число возможных порядков от способа, которым устройство или человек выбирает один из них. В задачах учебника это условие обычно дано; в реальной статистике его проверяют отдельно. Так факториал помогает сформулировать пространство вариантов, но не заменяет данные о самом процессе.
Три проверки перед тем, как писать n!
Факториал часто появляется слишком рано. Перед вычислением ответьте на три вопроса:
- Все ли объекты различимы? Одинаковые предметы дают одинаковые видимые порядки.
- Важен ли порядок? Выбор команды из пяти человек не меняется от перестановки имён.
- Используется ли каждый объект ровно один раз? Если места могут пустовать или объекты повторяются, модель меняется.
| Ошибочная запись | Проверка и исправление |
|---|---|
| 5! = 5 · 5 | Нужно умножить все целые от 1 до 5: 5! = 120. |
| 0! = 0 | Пустой порядок один, поэтому 0! = 1. |
| Три одинаковых шара дают 3! рядов | Если шары не различаются, все перестановки выглядят одинаково. |
| Любая задача выбора решается n! | Сначала решите, важен ли порядок; для выбора без порядка используют сочетания. |
Практика: от вычисления к условию
Сначала решите сами, затем раскройте ответ. Задания проверяют разные шаги: прямое вычисление, сокращение и распознавание модели.
1. Четыре ученика занимают четыре места в первом ряду. Сколько порядков?
На места последовательно есть 4, 3, 2 и 1 выбор: 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Здесь ученики различимы, и порядок мест важен.
2. Найдите 7! / 5!, не вычисляя 7! целиком.
Раскроем только лишнее: 7! = 7 · 6 · 5!. Значит, 7! / 5! = 7 · 6 = 42. Общий множитель 5! сокращается.
3. Пять разных книг стоят на полке. Две конкретные книги должны быть рядом. Сколько расстановок?
Считаем эти две книги одним блоком: вместе с тремя остальными книгами это 4 объекта, то есть 4! порядков. Внутри блока книги меняются местами двумя способами: 4! · 2 = 24 · 2 = 48.
4. Из пяти учеников выбирают трёх в команду, но должностей нет. Подходит ли ответ 5!?
Нет. Порядок имён не меняет команду. Факториал появится в формуле сочетаний, но 5! посчитает и тех, кого не выбрали, и одинаковую тройку в разных порядках.
Как появилась запись и что происходит за пределами целых чисел
Произведения последовательных чисел использовали задолго до современного обозначения. Французский математик Кристиан Крамп применил знак n! в книге 1808 года; краткая запись оказалась удобной для комбинаторных рассуждений. Это история записи, а не утверждение, что один человек «изобрёл» саму идею произведения.
В школе факториал определён для 0, 1, 2 и других неотрицательных целых чисел. Более продвинутая гамма-функция продолжает его по правилу x! = Γ(x + 1): например, (1/2)! = Γ(3/2) = √π / 2. Это уже не число способов расставить «половину предмета», а другая функция, совпадающая с факториалом на целых n ≥ 0. В отрицательных целых точках −1, −2, −3 и далее у неё нет конечного значения.
Частые вопросы
Что такое факториал простыми словами?
Это произведение чисел от 1 до данного неотрицательного целого числа. В комбинаторике n! равно числу порядков n разных объектов, если каждый используется один раз.
Чему равен 0!?
0! = 1. Это соответствует одному пустому порядку и сохраняет рекурсию 1! = 1 · 0!.
Как обозначается факториал?
Восклицательным знаком после числа: 5!, n!. Это математический знак, а не знак окончания эмоциональной фразы.
Бывает ли факториал у отрицательных чисел?
Школьный факториал определён только для целых n ≥ 0. Гамма-функция даёт значения для многих нецелых чисел, но в отрицательных целых точках конечного значения нет.
Где факториал применяется в жизни?
Он помогает оценить число возможных порядков в расписаниях, маршрутах и размещениях, а также входит в формулы вероятностей. Перед применением нужно проверить различимость объектов и важность порядка.