Масштаб — отношение длины на изображении к соответствующей настоящей длине, выраженным в одинаковых единицах. Например, 1:100000 означает: 1 см на карте соответствует 100000 см, или 1 км, на местности. У каждой карты, модели самолёта или кукольного домика может быть свой масштаб; в одной пропорциональной модели все соответствующие длины изменяют с одним коэффициентом.
Благодаря уменьшению страна помещается на листе карты, самолёт становится настольной моделью, а дом можно представить небольшим макетом. Масштаб связывает размеры такого изображения с оригиналом. В учебных задачах ниже считаем его постоянным: одинаковым отрезкам карты соответствуют одинаковые расстояния. У реальных карт больших территорий проекция может менять местный масштаб, поэтому точность измерений зависит от карты и участка.
Старинная карта не обязательно имеет постоянный масштаб. На египетском Туринском папирусе с картой района Вади-Хаммамат, датируемом XII веком до н. э., он меняется: музей указывает примерно 50–100 м на сантиметр. Поэтому по нему нельзя измерять расстояния одним коэффициентом. Другой вид изображения — объёмный макет местности: музейная модель Мон-Сен-Мишеля, созданная около 1691 года, выполнена примерно в масштабе 1:144. Это конкретный пример рельефной модели, а не мировой рекорд размера.
Что такое масштаб простыми словами?
Масштаб — это отношение длины на изображении к настоящей длине того же предмета. Проще говоря, он отвечает на вопрос: «во сколько раз картинка меньше оригинала?». Если домик на чертеже в 50 раз меньше настоящего, то масштаб чертежа — 1:50.
Записывают масштаб двумя числами через двоеточие. Первое число — это длина на бумаге, второе — такая же длина в реальности, измеренная в тех же единицах. В записи 1:100000 обе величины в сантиметрах: 1 см на карте отвечает 100000 см на земле. Главное правило — единицы измерения у обоих чисел одинаковые.
Что означает масштаб 1:100000?
Масштаб 1:100000 означает, что 1 см на карте соответствует 100000 см на местности. А 100000 см — это 1000 м, то есть 1 км. Поэтому при масштабе 1:100000 один сантиметр на карте равен одному километру в реальности.
Как найти настоящее расстояние по карте?
Для масштаба 1:N настоящая длина равна длине на изображении, умноженной на N. Обратно: настоящую длину делят на N. В общей записи m:n с положительными m и n умножают на n/m: настоящая длина = длина на изображении × n/m. Например, на чертеже 2:1 отрезок 6 см соответствует 6 × 1/2 = 3 см детали. Умножение только на второе число работает, когда первое равно единице.
Посчитаем по шагам пример с Рис. 1. Между городами на карте 4 см, масштаб 1:100000. Умножаем: 4 × 100000 = 400000 см. Переводим в привычные единицы: 400000 см = 4000 м = 4 км. Значит, между городами 4 километра. Проверка обратным действием: 4 км — это 400000 см, делим на 100000 и снова получаем 4 см на карте. Всё сходится.
Какие бывают виды масштаба?
Один и тот же масштаб можно записать тремя способами — они означают одно и то же, просто удобны в разных ситуациях.
- Численный — два числа через двоеточие, например 1:100000. Удобен для расчётов.
- Именованный — словами: «в 1 см — 1 км». Понятен сразу, без вычислений.
- Линейный — полоска-линейка вдоль края карты, размеченная в километрах. К ней просто прикладывают линейку и читают расстояние.
Кроме того, масштаб бывает двух направлений. Масштаб уменьшения (1:100000, 1:50) делает большой предмет маленьким — так чертят карты и планы домов. Масштаб увеличения (2:1, 100:1) наоборот показывает крошечное крупно — так рисуют детали часов или клетку под микроскопом. В записи увеличения первое число больше второго.
Где масштаб встречается в жизни?
Масштаб нужен на картах, чертежах, моделях, планах квартир и изображениях объектов в биологии. Но не всякая схема сохраняет расстояния: схема метро обычно показывает порядок станций и пересадки, а не постоянное соотношение длин. Перед измерением найдите указание масштаба и убедитесь, что оно относится именно к этому изображению.
Модель самолёта
На коробке со сборной моделью самолёта написано «масштаб 1:72». Каждая соответствующая длина модели в 72 раза меньше настоящей. Для самолёта длиной 14,4 м получаем 14,4 : 72 = 0,2 м = 20 см. Так же читают масштаб машинки 1:43 или железнодорожного макета. Речь именно о длинах: площади и объёмы при геометрическом подобии меняются с квадратом и кубом коэффициента, а не в те же 72 раза.
Чертёж квартиры и поездка по карте
На плане квартиры в масштабе 1:50 стена длиной 4 м изображается отрезком 400 см : 50 = 8 см. Сохранив один масштаб для стен и мебели, можно проверить их размещение. На карте 1:25000 маршрут длиной 12 см соответствует 300000 см = 3 км в принятой картографической модели. Реальный путь по склонам может быть длиннее горизонтального изображения. При увеличении электронной карты её экранный масштаб меняется; расстояние считывают по текущей масштабной линейке или инструменту карты, а не по прежней надписи для другого увеличения.
Задачи для самопроверки
1. На карте масштаба 1:100000 расстояние между сёлами 7 см. Сколько это километров?
Умножаем длину на карте на знаменатель: 7 × 100000 = 700000 см. Переводим: 700000 см = 7000 м = 7 км.
2. Реальное расстояние между городами 5 км. Каким оно будет на карте масштаба 1:100000?
Переводим 5 км в сантиметры: 5 км = 500000 см. Делим на знаменатель: 500000 : 100000 = 5 см.
3. На чертеже в масштабе 1:50 стена дома изображена отрезком 6 см. Какова настоящая длина стены?
Умножаем: 6 × 50 = 300 см = 3 метра.
4. Что означает масштаб 2:1 на чертеже маленькой детали?
Это масштаб увеличения: изображение в 2 раза больше настоящей детали. Так чертят мелкие предметы, чтобы их было удобно разглядеть.
Откуда появился масштаб?
Древние карты показывают стремление передать местность на небольшой поверхности, но не доказывают наличие у всех таких изображений единого точного масштаба. Страбон описывает карту Эратосфена и проведённую на ней линию с запада на восток, параллельную экватору. Это свидетельство использования географических ориентиров, а не современная равномерная координатная сетка. Русское слово «масштаб» связано с немецким Maßstab, обозначающим мерную линейку. В современной электронной карте увеличение меняет отношение экранных длин к местности, поэтому измерение нужно связывать с текущим видом карты.
Удивительное напоследок
Литературный парадокс карты 1:1 встречается у Льюиса Кэрролла и Хорхе Луиса Борхеса: карта целой страны оказывается такой же большой, как сама страна, и пользоваться ею неудобно. Но масштаб 1:1 сам по себе не ошибочен: для выкройки или небольшой детали натуральный размер может быть полезен. Уменьшенная карта тоже не «врёт» о длинах, если правило пересчёта указано; выбор масштаба зависит от задачи и нужной подробности изображения.
Частые вопросы (FAQ)
Что такое масштаб?
Масштаб — это число, которое показывает, во сколько раз изображение на карте, чертеже или модели меньше или больше настоящего предмета. Например, запись 1:100000 означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 100000 сантиметрам, то есть 1 километру, на местности.
Как найти расстояние на местности по карте?
При масштабе 1:N измерьте длину на карте и умножьте на N. Например, для 1:100000 отрезок 4 см соответствует 400000 см = 4 км. Для общей записи m:n нужна доля n/m, а единицы на обоих этапах должны быть согласованы. Если изображение увеличили или уменьшили отдельно от численной подписи, прежнее значение масштаба уже не подходит.
Что означает масштаб 1:100000?
Это значит, что всё на карте уменьшено в 100000 раз. Один сантиметр на бумаге равен 100000 сантиметрам в реальности. Переведём в удобные единицы: 100000 см — это 1000 метров, то есть 1 километр. Поэтому в 1 см такой карты ровно 1 км.
Какие бывают виды масштаба?
Масштаб записывают тремя способами: численный (1:100000), именованный («в 1 см — 1 км») и линейный (полоска-линейка на карте). Кроме того, различают масштаб уменьшения, который делает предмет меньше, и масштаб увеличения, который показывает крошечное крупно.
Чем масштаб увеличения отличается от масштаба уменьшения?
При масштабе уменьшения (1:50, 1:100000) изображение меньше оригинала — так чертят карты и дома. При масштабе увеличения (2:1, 100:1) изображение больше оригинала — так рисуют мелкие детали и микробов. Различить легко: если первое число больше второго, это увеличение.