Закон сохранения энергии утверждает: энергия не возникает из ничего и не исчезает. В изолированной системе её полное количество остаётся постоянным, хотя энергия может переходить от одного тела к другому и превращаться из механической во внутреннюю, электрическую, химическую и другие формы.
Для школьных задач по механике часто используют частный случай:
K₁ + U₁ = K₂ + U₂,
когда суммарная работа неучтённых неконсервативных сил равна нулю и модель не включает других превращений механической энергии. Работа силы тяжести уже учитывается изменением U: запрещать любую внешнюю работу без выбора системы некорректно. Если трение есть, закон не нарушается: нужно добавить энергию, в которую превратилась часть механической.
Представьте мяч на верхней полке: пока он неподвижен, энергия связана с высотой; во время падения растёт скорость; после удара часть энергии переходит во внутреннюю энергию мяча, пола и воздуха. История меняется, но правильно выбранный полный баланс обязан сойтись.
Что именно сохраняется
Перед уравнением надо выбрать систему: тело, Землю, пружину, поверхность или их сочетание. Затем мысленно провести её границу.
- Если энергия не проходит через границу, систему в рамках модели считают изолированной и записывают ΔEполн = 0.
- Если внешняя сила совершает работу или система получает тепло, энергия выбранной системы может измениться. Это перенос через границу, а не нарушение закона.
- Внутри системы энергия может менять форму. Уменьшение одной формы сопровождается увеличением другой.
Например, шайба останавливается на шероховатой поверхности. Её кинетическая энергия уменьшается, зато возрастает внутренняя энергия шайбы, поверхности и окружающей среды: они немного нагреваются и деформируются.
Механическая энергия: кинетическая и потенциальная
Кинетическая энергия движущегося тела:
K = mv² / 2,
где m — масса в килограммах, v — скорость в метрах в секунду.
Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землёй вблизи её поверхности:
U = mgh,
где g — ускорение свободного падения, а h — высота относительно выбранного нулевого уровня. В точных расчётах обычно берут g=9,8 м/с², а в учебной задаче могут прямо указать g=10 м/с².
Полная механическая энергия в этой модели равна Eмех = K + U. Её измеряют в джоулях (Дж), как и работу.
Когда можно писать K + U = const
В модели тела, Земли и идеальной пружины механическая энергия сохраняется, если учтены соответствующие потенциальные энергии и суммарная работа остальных сил равна нулю. Неконсервативная сила может присутствовать, но не совершать работу, как нормальная реакция неподвижной поверхности при движении вдоль неё. Тогда:
K₁ + U₁ = K₂ + U₂.
Уравнение сравнивает два состояния: начальное и конечное. Не нужно восстанавливать движение в каждую промежуточную секунду.
Если действует трение и выбранная расширенная система не получает энергию извне, удобно записать:
K₁ + U₁ = K₂ + U₂ + ΔEвнутр.
Здесь ΔEвнутр — увеличение внутренней энергии тел и среды. Это не универсальная формула для любого процесса, а прозрачная модель конкретной механической задачи: надо явно сказать, какие тела входят в систему и какие передачи энергии учитываются.
Источники
Определения и границы механической модели сверены с разделами OpenStax о работе и энергии и с брошюрой SI BIPM. Они подтверждают единицу джоуль и общий энергетический баланс; конкретный набор слагаемых всегда зависит от выбранной системы.
Алгоритм решения задач
- Выберите систему. Укажите, входят ли в неё Земля, поверхность и пружина.
- Отметьте два состояния. Например, верхняя и нижняя точки движения.
- Выберите нулевой уровень высоты. Обычно удобно положить h=0 в нижнем состоянии.
- Запишите формы энергии. Удалите только те члены, которые действительно равны нулю.
- Учтите перенос и превращение. При трении добавьте внутреннюю энергию или используйте работу неконсервативной силы.
- Решите и проверьте. Все величины должны быть в СИ; квадрат скорости не может быть отрицательным.
Три решённые задачи
1. Свободное падение без сопротивления
Тело массой 2 кг падает без начальной скорости с высоты 5 м. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, g=9,8 м/с². Нулевой уровень потенциальной энергии выберем у земли.
Вверху K₁=0, U₁=mgh=2·9,8·5=98 Дж. У земли U₂=0, поэтому:
mgh = mv²/2.
Масса есть в обеих частях и сокращается: v=√(2gh)=√98≈9,90 м/с.
Обратите внимание: масса сократилась из уравнения для скорости, но сама энергия равна 98 Дж и от массы зависит.
| Высота над землёй | Потенциальная энергия | Кинетическая энергия | Сумма |
|---|---|---|---|
| 5 м | 98 Дж | 0 Дж | 98 Дж |
| 2,5 м | 49 Дж | 49 Дж | 98 Дж |
| 0 м | 0 Дж | 98 Дж | 98 Дж |
2. То же падение с потерей механической энергии
Пусть из исходных 98 Дж во внутреннюю энергию воздуха и тела перешло 30 Дж. Тогда:
98 = mv²/2 + 30.
Конечная кинетическая энергия равна 68 Дж. При m=2 кг получаем v²=68 и v≈8,25 м/с.
Механическая энергия уменьшилась с 98 до 68 Дж, но полная учтённая энергия сохранилась: 68+30=98 Дж.
3. Бросок вверх
Мяч бросили вверх со скоростью 10 м/с. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. За нулевой уровень высоты примем точку броска.
В начале U₁=0 и K₁=mv₀²/2. В верхней точке мгновенная скорость равна нулю, значит K₂=0, но потенциальная энергия максимальна:
mv₀²/2 = mghmax.
Отсюда hmax=v₀²/(2g)=100/19,6≈5,10 м над точкой броска.
Связанную математику можно повторить в материале о квадратной функции и параболе.
Почему выбор нулевого уровня не меняет ответ
Потенциальная энергия зависит от условного нуля высоты. Можно выбрать пол, стол или точку старта. Если ко всем высотам прибавить одно и то же число, в обеих частях энергетического равенства появится одинаковая добавка, которая сократится. Физический результат зависит от изменения высоты, а не от подписи на линейке.
Типичные ошибки
- Сохраняют только кинетическую энергию. При изменении высоты или деформации надо учитывать потенциальную.
- Пишут K+U=const при трении. Сначала решите, куда переходит механическая энергия и входит ли получатель в систему.
- Считают энергию нулевой в верхней точке. Нулевой там становится скорость, но потенциальная энергия обычно максимальна.
- Сокращают массу слишком рано. Это допустимо лишь когда она множителем входит во все нужные члены и нет, например, отдельного заданного количества теплоты.
- Используют сантиметры и граммы. Для ответа в джоулях переведите массу в килограммы, высоту в метры, скорость в м/с.
Задачи для самопроверки
- Тело массой 0,5 кг падает из состояния покоя с высоты 8 м без сопротивления. Примите g=10 м/с², нулевой уровень потенциальной энергии — у земли. Найдите начальную потенциальную энергию и скорость у земли.
- Тело массой 3 кг движется со скоростью 4 м/с. Найдите кинетическую энергию.
- Тело массой 1 кг начинает скользить из состояния покоя вниз с перепадом высоты 10 м. При g=10 м/с² во внутреннюю энергию перешло 30 Дж; других передач энергии нет. Найдите скорость внизу.
- Шайба остановилась из-за трения. Нарушен ли закон сохранения энергии?
Ответы и подсказки
- U=40 Дж; v=√160≈12,65 м/с.
- K=3·4²/2=24 Дж.
- Начальная энергия 100 Дж, конечная кинетическая 70 Дж, v=√140≈11,83 м/с.
- Нет. Кинетическая энергия перешла преимущественно во внутреннюю энергию шайбы, поверхности и среды.
Частые вопросы
Чем общий закон отличается от сохранения механической энергии?
Общий закон охватывает все учитываемые формы энергии. Равенство K+U=const — частный случай, справедливый при определённых силах и границах системы.
Энергия исчезает при трении?
Нет. Уменьшается механическая часть, а внутренняя энергия тел и среды увеличивается.
Почему вечный двигатель не может работать?
Устройство не может постоянно отдавать энергию без равного поступления или уменьшения запасённой энергии. Реальные потери дополнительно переводят часть энергии в менее удобные формы.
Энергетический баланс — один из способов проверить физическую модель. Для дальнейшего знакомства с исследовательским подходом посмотрите программу курса «Научное мышление». На странице курса можно выбрать занятия; задачи на энергию в этой статье остаются открытыми.