Теория групп

Узнайте математические группы через симметрии геометрических фигур.

Научитесь комбинировать симметрии фигуры и построите первую таблицу группы — группу Клейна.

Три аксиомы группы — нейтральный элемент, обратные элементы, ассоциативность — выводятся из свойств симметрий фигуры.

Классифицируйте все 24 поворотных симметрии куба по трём типам осей и познакомьтесь с симметрической группой S₄.

Формальное определение группы через четыре аксиомы и ключевые примеры: группа диэдра, симметрическая группа, циклическая группа.

Порядок элемента, кватернионы, матрицы, музыкальные ноты и изоморфизм групп.

Критерий подгруппы, теорема Лагранжа и задачи на подсчёт подгрупп.

Изучите абелевы группы, классификацию конечных абелевых групп через прямые произведения и мультипликативную группу $Z_n^*$.

Изучаем гомоморфизмы — функции между группами, сохраняющие операцию. Считаем их число и разбираемся с автоморфизмами.

Постройте группу из смежных классов подгруппы и изучите ключевые свойства факторгрупп.

Применение теоремы Лагранжа к малой теореме Ферма, теореме Эйлера и теореме Вильсона; первообразные корни и цикличность $Z_p^*$.

Пятнашки, солитёр и группа Клейна: как теория групп объясняет достижимость конфигураций в классических головоломках.

Применяем теорию групп для изучения кубика Рубика: порядок группы, коммутаторы, сопряжение.

Изучите критерии нормальности, конструкцию произведения HK, а также централизатор и нормализатор подгруппы.

Изучите первую, вторую и третью теоремы об изоморфизме — главные инструменты работы с факторгруппами.

Изучаем классы сопряжённости групп, уравнение классов и поведение числа классов под гомоморфизмами.

Изучаем симметрическую группу $S_n$: циклическая запись, сопряжение, неподвижные точки, знакопеременная группа и теорема Кэли.

Свяжите символ Лежандра с знаком перестановки умножения и докажите второе дополнение к закону квадратичной взаимности.

Орбиты, стабилизаторы и теорема об орбите и стабилизаторе. Применяем к группе диэдра, додекаэдру, матричным группам и регулярным действиям.

Применяем лемму Бёрнсайда для подсчёта раскрасок с точностью до симметрий шестиугольника и тетраэдра.

Полупрямые произведения — мощный инструмент для построения больших групп из меньших и классификации групп.

Теоремы Силова — мощный инструмент для анализа конечных групп. Подсчитываем число силовских подгрупп и доказываем нормальность и непростоту.