Математический анализ

Научитесь находить скорость изменения линейных функций и поймёте связь между наклоном графика и производной.

Исследуйте понятие касательной и производной как углового коэффициента касательной в точке.

Узнайте, как производная помогает находить точки максимума и минимума функции.

Изучите понятие критической точки и различие между локальными и абсолютными экстремумами.

Примените понятие производной к задаче о падении телефона: мгновенная скорость как угловой коэффициент касательной.

Используйте вторую производную для классификации критических точек как локальных максимумов и минимумов.

Узнайте, когда тест второй производной не даёт ответа: границы области определения и случай f''(c)=0.

Изучите обозначение производных высших порядков, понятие точки перегиба и роль третьей производной.

Как производные высшего порядка описывают движение: путь, скорость, ускорение и рывок.

Правило постоянного множителя: производная k·f(t) равна k·f'(t). Нотация Лейбница d/dt[].

Научитесь находить производную многочлена слагаемое за слагаемым, применяя правило суммы и правило вынесения постоянного множителя.

Выведите правило произведения геометрически и докажите правило степени для любого многочлена.

Научитесь дифференцировать сложные функции с помощью цепного правила: h'(x) = f'(g(x))·g'(x).

Выведите правило дифференцирования частного двух функций шаг за шагом — через обратную величину, цепное и степенное правила.

Применим правило дифференцирования частного, чтобы найти оптимальное время экстракции кофе.

Исследуйте, как функция площади A(a,b) связана со значением графика f(b) — зерно основной теоремы анализа.

Обозначение определённого интеграла, его части и связь с суммами Римана.

Откройте связь между интегралом и первообразной: основная теорема анализа позволяет вычислять определённые интегралы алгебраически.

Освойте понятие первообразной, постоянную интегрирования и правило интегрирования степени.

Восстановите закон движения падающего тела, дважды интегрируя ускорение и применяя начальные условия.

Выведите формулу объёма шара, вращая полуокружность вокруг оси и суммируя объёмы цилиндрических дисков.

Выведите интеграл площади поверхности вращения, начиная с объёма шара, и примените его к конусу.

Исследуйте удивительный парадокс рога Гавриила: конечный объём при бесконечной площади поверхности.

Исследуйте понятие последовательности и предела через площади вписанных многоугольников.

Изучите, как с помощью последовательностей и пределов объяснить метод радиоуглеродного датирования.

Узнайте, как предел частичных сумм даёт смысл бесконечному ряду.

Выведите замкнутую формулу геометрической суммы и определите, когда бесконечная сумма сходится.

Докажите, что гармонический ряд расходится, несмотря на то что его слагаемые стремятся к нулю.

Исследуйте, как гармоническая сумма описывает максимальный вынос стопки брусьев за край опоры.

Научитесь строить квадратичное приближение гладкой функции вблизи точки и узнайте, как это ведёт к рядам Тейлора.

Откройте, как уравнение пружины порождает гармонические колебания и ряд косинуса.

Разберитесь в строгом определении предела через язык эпсилон–дельта.

Докажем правила вынесения постоянного множителя, суммы и степенной функции из определения предела ε–δ.

Односторонние пределы, критерий непрерывности и функция Хевисайда.

Исследуйте понятие гладкости функции и узнайте, почему непрерывности недостаточно.

Освойте теорему о промежуточном значении и метод половинного деления для поиска корней многочленов.

Изучите теорему об экстремальных значениях и научитесь находить абсолютные экстремумы на замкнутом отрезке.

Изучите синус и косинус через единичную окружность, их периодичность и производные.

Откройте число Эйлера e и удивительное свойство функции e^x — она равна своей производной.

Приближение функций многочленами Тейлора и ряды для sin(x), cos(x) и e^x.

Переосмыслите геометрическую сумму как ряд Тейлора и изучите понятия интервала и радиуса сходимости.

Оцените интеграл колоколообразной кривой с помощью ряда Тейлора и формулы Ньютона — Лейбница.