Неравенство решают так: находят все значения переменной, при которых сравнение верно. С числом можно прибавлять и вычитать одно и то же с обеих сторон; при умножении или делении на отрицательное число знак обязательно меняется на противоположный. Поэтому в ответе обычно получается не одно число, а луч, промежуток или несколько промежутков.
Главный вопрос в задачах на неравенства звучит не «чему равен x?», а «какие x подходят?». Начнём с самого короткого случая, увидим, почему отрицательный множитель меняет порядок, а затем перейдём к квадратным выражениям, графику и замене переменной.
Что записывают знаки неравенства
Знак < читают «меньше», > — «больше», ≤ — «меньше или равно», ≥ — «больше или равно». Например, запись x ≥ 4 объединяет число 4 и все числа правее него. А в x > 4 число 4 уже не подходит: сравнение 4 > 4 ложно.
Уравнение требует равенства, например 2x = 10 даёт x = 5. Неравенство 2x < 10 допускает все x < 5. На прямой строгой границе соответствует пустая точка, нестрогой — закрашенная. Это не оформление ответа, а часть условия.
Почему знак меняется при умножении на отрицательное число
На числовой прямой 3 < 7: тройка левее семёрки. Умножим оба числа на −1: получим −3 и −7. Теперь −3 правее −7, то есть −3 > −7. Отрицательный множитель отражает числа относительно нуля и меняет их порядок. Поэтому из −2x > 8 после деления на −2 получаем x < −4, а не x > −4.
Это правило относится только к умножению или делению на отрицательное число. При сложении и вычитании знак сохраняется; при умножении на положительное число тоже сохраняется. Если знак выражения неизвестен, нельзя без разбора делить на него: сначала нужно рассмотреть случаи или преобразовать задачу иначе.
Способ 1: линейное неравенство
В линейном неравенстве переменная не стоит в квадрате, под корнем или в знаменателе. Его решают теми же допустимыми преобразованиями, что и уравнение, но следят за знаком делителя.
Пример. Решим 4x − 7 > 2x + 5. Вычтем 2x: 2x − 7 > 5. Прибавим 7: 2x > 12. Делим на положительное число 2, поэтому знак остаётся прежним: x > 6. Подстановка x = 7 даёт 21 > 19, а x = 6 даёт 17 > 17, что ложно. Значит, пустая точка в 6 действительно нужна.
Тот же алгоритм работает, когда последний шаг требует отрицательного делителя. В неравенстве −3x + 2 ≤ 11 сначала вычтем 2: −3x ≤ 9. Деление на −3 меняет знак: x ≥ −3. Быстрая проверка x = 0 подтверждает ответ: 2 ≤ 11 верно.
Способ 2: метод интервалов
Когда левая часть раскладывается на множители, важны точки, где она равна нулю, и точки, где выражение не определено. Они делят прямую на интервалы; внутри каждого такого интервала знак произведения или дроби не меняется.
Пример. Решим (x − 2)(x − 5) ≥ 0. Нули — 2 и 5. На промежутке x < 2 оба множителя отрицательны, их произведение положительно; между 2 и 5 знаки разные, произведение отрицательно; при x > 5 оба положительны. Так как нужен знак «≥ 0», берём внешние части и сами нули: x ≤ 2 или x ≥ 5.
Для дроби правило дополняется запретом: нули знаменателя не входят в ответ даже при знаке «≥». Например, в (x + 1)/(x − 3) > 0 точки −1 и 3 делят прямую на три части. Подстановка даёт плюс на (−∞; −1), минус на (−1; 3), плюс на (3; +∞). Ответ: (−∞; −1) ∪ (3; +∞); число 3 исключено, потому что дробь там не существует.
Способ 3: график как проверка смысла
Неравенство f(x) > g(x) спрашивает, где график f расположен выше графика g. Например, x² − 5x + 6 > 0 можно читать как вопрос: где парабола y = x² − 5x + 6 находится выше оси Ox? Её нули равны 2 и 3, а ветви направлены вверх, поэтому выше оси она при x < 2 и x > 3.
График помогает увидеть ответ, но не заменяет точного вычисления, если рисунок схематичен. Сначала найдите пересечения или решите выражение алгебраически, затем используйте рисунок для самопроверки: правильно ли выбраны интервалы и включены ли границы.
Способ 4: замена переменной
Если одно сложное выражение повторяется, его временно заменяют буквой. Так задача становится знакомой, но после решения нужно обязательно вернуться к исходной переменной.
Пример. Пусть (x² − 1)² − 5(x² − 1) + 6 < 0. Обозначим t = x² − 1. Тогда получаем (t − 2)(t − 3) < 0, откуда 2 < t < 3. Возвращаемся: 2 < x² − 1 < 3, значит 3 < x² < 4. Поэтому −2 < x < −√3 или √3 < x < 2. Одного ответа «2 < t < 3» недостаточно: он относится к заменённой переменной.
Способ 5: готовое неравенство
Иногда выражение не нужно раскладывать заново. Для неотрицательных a и b арифметическое среднее не меньше геометрического: (a + b)/2 ≥ √(ab). Условие a ≥ 0, b ≥ 0 существенно: без него геометрическое среднее в действительных числах может не существовать.
Проверить это неравенство можно прямо из квадрата: (√a − √b)² ≥ 0. После раскрытия скобок получаем a + b − 2√(ab) ≥ 0, значит a + b ≥ 2√(ab), а после деления на положительное 2 — нужную формулу. Это рассуждение работает именно при a, b ≥ 0, когда корни определены в действительных числах.
Пример. Для положительного x возьмём a = x и b = 1/x. Тогда ab = 1, поэтому (x + 1/x)/2 ≥ 1 и x + 1/x ≥ 2. Равенство возможно при a = b, то есть x = 1. Здесь неравенство не ищет x: оно доказывает, что выражение никогда не опустится ниже 2.
Где встречается такая модель
Неравенство удобно, когда условие описывает предел. Бюджет «стоимость покупок не больше 1000 рублей» можно записать как сумму цен ≤ 1000. Ограничение на вместимость, допустимый диапазон температуры или время выполнения задачи работают так же: переменная должна остаться по нужную сторону границы. Математическая модель не заменяет реальные правила и измерения, но помогает проверить, выполняется ли заданное ограничение.
В более сложных задачах такие ограничения задают область допустимых решений: например, нужно выбрать значения переменных так, чтобы расход не превысил запас, а время не вышло за предел. Поиск наилучшего допустимого варианта относится к оптимизации. Школьное неравенство здесь остаётся тем же сравнением, только переменных и условий становится больше.
Короткая историческая связь
Сравнения величин использовались в математике задолго до современных символов. Знаки < и > обычно связывают с английским математиком Томасом Харриотом: они были напечатаны в его посмертно изданной книге Artis Analyticae Praxis в 1631 году. Эта дата говорит о записи, а не о «появлении неравенств»: геометрические утверждения о том, что одна величина больше другой, существовали раньше.
Сегодня знак неравенства по-прежнему служит языком границ: он отделяет допустимые значения от недопустимых. Поэтому полезнее помнить не легенду о формуле, а вопрос, который она задаёт: какое условие должно выполняться и входят ли его границы в ответ?
Как не потерять ответ при преобразованиях
У каждого действия с неравенством есть условие. Прибавить одно и то же число можно всегда: из a < b следует a + c < b + c. Умножать на положительное число тоже можно всегда, потому что порядок на прямой сохраняется. А вот умножение на переменное выражение опасно, если неизвестно, положительно оно или отрицательно.
Например, нельзя из x(x − 1) > 0 просто «разделить на x»: знак x заранее неизвестен, а при x = 0 деление вообще невозможно. Вместо этого отмечают нули 0 и 1 и строят знаки: на (−∞; 0) оба множителя отрицательны, поэтому произведение положительно; на (0; 1) оно отрицательно; на (1; +∞) положительно. Получается x < 0 или x > 1.
Возведение в квадрат также требует осторожности. Из 2 < 3 действительно следует 2² < 3², потому что оба числа неотрицательны. Но из −3 < −2 после возведения в квадрат выходит 9 > 4: порядок изменился. Поэтому квадрат используют только после проверки знаков или после специального разбора задачи.
Двойные неравенства и промежутки
Запись −2 < x ≤ 5 означает сразу два условия: x больше −2 и x не больше 5. Ответ записывают как промежуток (−2; 5]. Круглая скобка показывает исключённую границу, квадратная — включённую. Бесконечность всегда записывают с круглой скобкой: число +∞ не является точкой на прямой.
Двойное неравенство удобно решать одновременно, если все части умножают или делят на одно положительное число. Например, из −6 < 2x ≤ 10 после деления на 2 получаем −3 < x ≤ 5. Если делитель отрицательный, меняются оба знака и порядок записи: умножим −3 < x ≤ 5 на −1. Сначала выйдет 3 > −x ≥ −5, затем запишем слева направо: −5 ≤ −x < 3.
Проверка здесь особенно проста: возьмите внутреннюю точку, например x = 0, и граничные точки. В первом примере 0 подходит, −3 не подходит, а 5 подходит. Такая проверка ловит перепутанные скобки до того, как ответ будет записан в тетрадь.
Неравенства с модулем: расстояние до точки
Модуль |x − a| показывает расстояние от x до a на числовой прямой. Поэтому |x − 2| < 5 читают так: «найти точки, которые находятся от 2 на расстоянии меньше 5». Они лежат между 2 − 5 и 2 + 5, значит −3 < x < 7. Строгое слово «меньше» исключает обе границы.
Условие |x − 2| ≥ 5 описывает обратную картину: расстояние не меньше 5, поэтому подходят два внешних луча: x ≤ −3 или x ≥ 7. Запоминать две формулы без рисунка рискованно. Полезнее каждый раз спросить: нужны точки внутри заданного расстояния или снаружи него?
Если справа от модуля стоит отрицательное число, решение определяется сразу. Например, |2x + 1| < −4 не имеет решений: расстояние не может быть отрицательным. Если справа ноль, |2x + 1| ≤ 0 возможно только при 2x + 1 = 0, то есть x = −1/2.
Ещё один разбор: квадратное неравенство без угадывания
Решим x² − x − 6 ≤ 0. Разложим выражение: (x − 3)(x + 2) ≤ 0. Критические точки −2 и 3. Слева от −2, например при x = −3, произведение положительно; между −2 и 3, например при x = 0, оно отрицательно; справа от 3 оно снова положительно. Нужны отрицательные значения и нули, поэтому ответ [−2; 3].
Почему нули включены? В точках −2 и 3 произведение равно нулю, а знак в условии «≤» допускает ноль. Если бы стоял знак < 0, ответ был бы (−2; 3). Эта разница повторяется во всех задачах метода интервалов: сначала определить нужный знак, затем отдельно решить вопрос о границах.
Таблица знаков не требует запоминать рисунок параболы. Для каждого интервала достаточно подставить одно удобное число. При этом подставлять сами нули не нужно: ими уже разделены интервалы. Такой способ работает и в случаях, где график трудно построить точно.
Частые ошибки и короткая самопроверка
Ошибка 1: знак меняют после переноса. В 5x − 4 > 1 при прибавлении 4 знак не меняется: 5x > 5. Он изменится только если затем делить на отрицательное число.
Ошибка 2: берут только корни. Уравнение (x − 2)(x − 5) = 0 даёт два числа, а неравенство с тем же выражением требует целые интервалы. Корни служат границами, а ответ находят по знаку между ними и снаружи.
Ошибка 3: забывают область определения. В дроби 1/(x − 3) число 3 запрещено независимо от того, какой знак стоит в неравенстве. Подстановка запрещённого значения не является проверкой: выражения в этой точке нет.
Ошибка 4: проверяют только одну удачную точку. Подстановка подтверждает, что конкретное число подходит, но не доказывает весь промежуток. Сначала получают интервалы по преобразованиям или знакам, а потом выбирают тестовую точку из каждого нужного участка.
Полезная последняя проверка — вернуть ответ к исходной записи, а не к уже преобразованной. Для ответа x ≥ −3 в задаче −3x + 2 ≤ 11 подставим границу: −3·(−3) + 2 = 11, значит она включена. Возьмём число справа, x = 1: −3 + 2 ≤ 11 верно. Возьмём число слева, x = −4: 12 + 2 ≤ 11 ложно. Три такие подстановки подтверждают и направление луча, и вид скобки.
Когда в условии несколько ограничений, ответом служит их пересечение: подходят только числа, которые удовлетворяют каждому из них. Например, из x > −1 и x ≤ 4 получается (−1; 4]. Слово «и» сужает выбор, а слово «или» объединяет варианты, как в ответе x ≤ 2 или x ≥ 5.
Проверьте себя
1. Решите 3(x − 2) ≥ 2x + 1.
Показать решение
Раскрываем скобки: 3x − 6 ≥ 2x + 1. Вычитаем 2x и прибавляем 6: x ≥ 7. Граница входит, поэтому ответ [7; +∞). Проверка x = 7 даёт 15 ≥ 15.
2. Решите −4x < 12 и объясните, почему знак меняется.
Показать решение
Делим обе части на −4 и получаем x > −3. Знак меняется, потому что умножение на отрицательное число меняет порядок: из −4 < 0 после деления на −4 выходит 1 > 0. Проверка x = 0: 0 < 12 верно.
3. Найдите все x, для которых (x − 1)(x + 4) < 0.
Показать решение
Нули равны −4 и 1. Между ними множители имеют разные знаки, значит произведение отрицательно. Строгий знак не включает границы: −4 < x < 1.
Перед записью ответа сделайте три шага: отметьте нули и запрещённые значения, проверьте, входят ли границы, и подставьте одно число из выбранного интервала. Эта проверка особенно полезна после деления на отрицательное число.
Следующий шаг
Линейные преобразования лежат в основе большинства первых неравенств. В интерактивном курсе «Переменные и линейные уравнения» можно закрепить перенос слагаемых и проверку подстановкой на последовательности задач. Для задач с графиками полезно также повторить что такое функция: тогда фраза «выше оси Ox» станет точным способом читать неравенство.