Чётная функция не меняет значение при замене x на −x: f(−x)=f(x). Нечётная функция меняет знак значения: f(−x)=−f(x). Но сначала проверьте область определения: вместе с каждым x в ней должен находиться −x; если это условие не выполнено, функция не относится ни к одному из двух типов.
Название описывает симметрию, а не то, чётными или нечётными числами получаются значения. Например, f(x)=x² принимает и нечётное значение 1, и чётное 4, но остаётся чётной функцией, потому что (−x)²=x² для любого допустимого x.
Сравнение в одной таблице
| Тип | Проверка формулы | Симметрия графика | Пример |
|---|---|---|---|
| Чётная | f(−x)=f(x) | Относительно оси Oy | x²+4 |
| Нечётная | f(−x)=−f(x) | Относительно начала координат | x³−2x |
| Общего вида | Не выполнено ни одно равенство | Нет обязательной симметрии | x²+x |
Для чётного графика точка (x;y) имеет зеркальную пару (−x;y). Для нечётного графика парой будет (−x;−y): это поворот на 180° вокруг начала координат. Поэтому у нечётной функции, определённой в нуле, обязательно f(0)=0.
Почему область определения проверяют первой
Равенства с f(−x) имеют смысл только тогда, когда −x тоже допустим. У функции q(x)=√(x−1) область определения x≥1. Число 2 допустимо, а −2 — нет, поэтому область несимметрична относительно нуля. Такая функция не является ни чётной, ни нечётной, даже если часть её графика кажется похожей на симметричную кривую.
У f(x)=1/x область определения исключает ноль, но остаётся симметричной: если x≠0, то и −x≠0. Значит, отсутствие нуля само по себе не мешает исследованию.
Алгоритм исследования функции
- Найдите область определения. Проверьте, что она симметрична относительно нуля.
- Замените x на −x. Поставьте скобки, особенно перед степенями и дробями.
- Упростите f(−x). Учтите: (−x)²=x², а (−x)³=−x³.
- Сравните. Совпало с f(x) — функция чётная; совпало с −f(x) — нечётная; иначе — общего вида.
Пример чётной функции
Пусть f(x)=x²+4. Область определения — все действительные числа, она симметрична. Подставим −x: f(−x)=(−x)²+4=x²+4=f(x). Следовательно, функция чётная, а её парабола симметрична относительно оси Oy.
Проверка на точках подтверждает результат, но не заменяет доказательство: f(3)=13 и f(−3)=13. Равенство формул показывает, что то же произойдёт при любом x.
Пример нечётной функции
Возьмём g(x)=x³−2x. Область определения — вся числовая прямая. Тогда g(−x)=(−x)³−2(−x)=−x³+2x=−(x³−2x)=−g(x). Функция нечётная.
Например, g(2)=4, а g(−2)=−4. Точки (2;4) и (−2;−4) переходят друг в друга при повороте графика на 180° вокруг начала координат.
Функция общего вида
Для h(x)=x²+x получаем h(−x)=x²−x. Это выражение не равно ни h(x)=x²+x, ни −h(x)=−x²−x. Поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной. Смесь ненулевых чётных и нечётных степеней часто даёт именно общий вид.
Полезные свойства
- Сумма двух чётных функций чётная.
- Сумма двух нечётных функций нечётная.
- Произведение двух нечётных функций чётное.
- Произведение чётной и нечётной функций нечётное.
Эти правила следуют из подстановки −x. Например, если f и g нечётные, то f(−x)g(−x)=(−f(x))(−g(x))=f(x)g(x). На практике свойства сокращают вычисления, но область определения произведения всё равно нужно проверить.
Где обычно ошибаются
- Забывают про область определения. Формальное сходство выражений не исправляет несимметричную область.
- Теряют минус. В записи (−x)³ минус сохраняется, а в (−x)² исчезает.
- Проверяют одну пару чисел. Совпадение при x=1 ничего не доказывает для всех остальных x.
- Путают с чётными числами. Тип функции определяется равенством формул, а не значениями y.
Проверьте себя: три задачи
Задача 1. Исследуйте p(x)=5x⁴−3x²+7.
Ответ: функция чётная: p(−x)=5(−x)⁴−3(−x)²+7=p(x). Если ответ не сошёлся, упростите отдельно четвёртую и вторую степени: обе уничтожают минус.
Задача 2. Исследуйте r(x)=2x⁵+x.
Ответ: функция нечётная: r(−x)=−2x⁵−x=−r(x). Для восстановления шага вынесите общий минус после подстановки.
Задача 3. Исследуйте q(x)=√(x−1).
Ответ: функция ни чётная, ни нечётная. Её область x≥1 несимметрична: x=2 допустим, а x=−2 — нет. Если вы сразу подставили −x, вернитесь к первому шагу алгоритма и проверьте область.
Как тема связана с другими свойствами функций
Если нужно повторить саму идею соответствия x и y, начните со страницы «Функция в математике». Затем разберите область определения функции: без симметричной области равенства с f(−x) нельзя применять ко всем аргументам.
От объяснения к действию
Повторите аргумент, значение и график функции
Курс «Введение в функции» посвящён понятию функции, её графику, области определения и значений.
Редакция STEMskills.