Короткий ответ. Если |A| = b, то при b > 0 решают два уравнения: A = b и A = -b. При b = 0 остаётся A = 0, а при b < 0 корней нет. Каждый найденный корень проверяют в исходном уравнении.
Как вынести число из модуля. Используйте равенство |cA| = |c|·|A|. Например, |-3x| = 3|x|. Но запись |x-3| = x-3 верна только при x ≥ 3; при x < 3 получается |x-3| = 3-x.
Уравнения с модулем: как раскрыть и решить с примерами
Уравнение с модулем — это равенство, где неизвестное стоит под знаком модуля. В рассматриваемых здесь школьных уравнениях с линейными выражениями модуль раскрывают на два случая или разбивают числовую прямую на промежутки по точкам смены знака. На каждом промежутке получается линейное уравнение, а найденные корни обязательно проверяют в исходной записи. Для нелинейных выражений общий принцип сохраняется, но уравнения после раскрытия уже могут потребовать других методов.
Что такое модуль и почему он даёт два случая?
Модуль числа — это расстояние от него до нуля на числовой прямой, поэтому он всегда неотрицателен. Записи |5| и |−5| обе равны 5. Именно из-за этого одно уравнение с модулем обычно распадается на два: то, что под модулем, могло быть как положительным, так и отрицательным.
Из определения следует ключевое правило. Если |A| = b и b положительно, то A = b или A = −b. Если b равно нулю, остаётся одно уравнение: A = 0. Если b отрицательно, решений нет вообще — модуль не бывает меньше нуля.
| Правая часть b | Что решаем |
|---|---|
| b > 0 | A = b или A = −b |
| b = 0 | A = 0 |
| b < 0 | Решений нет |
Как решать уравнение вида |x − a| = b?
Это самый частый тип, и решается он прямым раскрытием на два случая. Разберём уравнение |x − 3| = 5. Раскрываем: x − 3 = 5 или x − 3 = −5. Из первого x = 8, из второго x = −2. Проверка: |8 − 3| = 5 и |−2 − 3| = 5 — оба корня верны.
Геометрически это читается так: ищем точки, удалённые от числа 3 ровно на 5. Их две — 8 и −2. Такой взгляд помогает быстро прикинуть ответ и не потерять второй корень.
Как решать, когда переменная есть и справа?
Если справа стоит не число, а выражение с переменной, действуют по той же схеме, но добавляют проверку. Решим |2x − 1| = x + 4. Первый случай: 2x − 1 = x + 4, откуда x = 5. Второй случай: 2x − 1 = −(x + 4), то есть 2x − 1 = −x − 4, 3x = −3, x = −1.
Теперь проверка обязательна, потому что правая часть могла оказаться отрицательной. При x = 5: справа 9, слева |9| = 9 — годится. При x = −1: справа 3, слева |−3| = 3 — годится. Оба корня подходят: x = 5 и x = −1.
Метод промежутков для нескольких модулей
Когда модулей в уравнении два и больше, удобнее метод промежутков. Сначала находят точки, где каждый модуль обращается в ноль, и разбивают прямую на участки. На каждом участке знак каждого подмодульного выражения известен, поэтому модули раскрываются однозначно.
Разберём уравнение |x − 1| + |x + 2| = 5. Критические точки — это 1 и −2; они делят прямую на три промежутка. На участке x < −2 оба выражения отрицательны, уравнение становится (1 − x) + (−x − 2) = 5, то есть −2x − 1 = 5, откуда x = −3 — это значение действительно меньше −2, корень подходит. На участке от −2 до 1 получаем (1 − x) + (x + 2) = 3, а 3 ≠ 5, значит здесь корней нет. На участке x > 1 имеем (x − 1) + (x + 2) = 5, то есть 2x + 1 = 5, x = 2 — больше 1, корень подходит.
Итог: два корня, x = −3 и x = 2. Проверка подтверждает: |−3 − 1| + |−3 + 2| = 4 + 1 = 5 и |2 − 1| + |2 + 2| = 1 + 4 = 5.
Когда у уравнения нет корней?
Корней нет, если модуль приравнен к отрицательному числу. Уравнение |x + 7| = −3 решений не имеет: слева всегда неотрицательное число, а справа отрицательное. Распознать такой случай нужно сразу — это экономит время на контрольной и спасает от лишних выкладок.
Краткий алгоритм для линейных выражений под модулем
Сначала оцените правую часть: если модуль равен отрицательному числу, корней нет. Для уравнения вида |A(x)| = b с линейным A(x) и b ≥ 0 запишите два случая A(x) = b и A(x) = −b. Если линейных модулей несколько, найдите нули подмодульных выражений и раскройте знаки отдельно на каждом промежутке. Решите получившиеся уравнения, проверьте принадлежность корней выбранным промежуткам и подставьте ответы в исходное уравнение.
Типичные ошибки
Самая частая ошибка — забыть второй случай и записать только один корень. Вторая по частоте — не сделать проверку там, где справа стоит выражение с переменной, и оставить посторонний корень. Третья — при раскрытии −(x + 4) потерять знак и получить −x + 4 вместо −x − 4.
Где это пригодится дальше
Навык раскрытия модуля — это фундамент для неравенств с модулем, для построения графиков функций с модулем и для задач с расстояниями. Тот же приём «два случая» работает и в более сложных темах, поэтому отработать его на линейных примерах стоит до автоматизма.
Короткий ответ
Уравнение с модулем решают через смысл модуля: |A| — это расстояние от A до нуля, поэтому |A| = b при b >= 0 превращается в два случая: A = b или A = -b. Если справа отрицательное число, решений нет.
Проверьте себя
Решите |x| = 6.
x = 6 или x = -6.
Решите |x — 2| = 5.
x — 2 = 5 или x — 2 = -5, значит x = 7 или x = -3.
Есть ли решения у |x + 1| = -3?
Нет, модуль не может быть отрицательным.
Что изучать дальше
Сначала закрепите раскрытие модуля на линейных уравнениях, а затем переходите к неравенствам и графикам с модулем. Для доступа к платформе можно создать аккаунт STEMskills.