Среднее арифметическое — сумма чисел, делённая на их количество: x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n, где n > 0. Например, среднее 4, 5, 3, 5, 4 равно 21/5 = 4,2. Все значения здесь имеют одинаковый вес; при разных весах нужна взвешенная формула.
В 1907 году Фрэнсис Гальтон опубликовал результаты конкурса на ярмарке в Плимуте: участники оценивали массу туши быка после разделки. Из 787 пригодных оценок получилась медиана 1207 фунтов при действительной массе 1198 фунтов. В последующем письме он указал среднее арифметическое 1197 фунтов, всего на один фунт меньше результата взвешивания. Это интересный случай точного усреднения, но не доказательство, что любая толпа обязательно точнее каждого эксперта.
Коротко: что это
Среднее арифметическое — это сумма всех чисел, делённая на их количество. Если у вас в ряду пять оценок: 4, 5, 3, 5, 4, то среднее — это (4 + 5 + 3 + 5 + 4) ÷ 5 = 4,2.
Важно: усреднение может уменьшать разнонаправленные ошибки, но не устраняет общий перекос. Если все весы завышают массу на килограмм, среднее их показаний тоже будет завышено. Это ограничение относится и к опросам, и к объединению прогнозов нескольких моделей: число участников само по себе не гарантирует точности. Поэтому вместе со средним оценивают качество и происхождение данных.
Самый простой пример — оценки за четверть
Представьте пять оценок по математике: 5, 4, 3, 5, 4. При одинаковом весе каждой среднее равно (5 + 4 + 3 + 5 + 4) ÷ 5 = 21 ÷ 5 = 4,2. При округлении до целого получится 4. Если заменить тройку пятёркой, сумма увеличится на 2, а среднее — на 2/5 = 0,4: получится 4,6, округляемое до 5. Но итоговая школьная отметка не обязана совпадать с этим округлением: действуют правила оценивания конкретной школы. Здесь мы рассчитываем среднее, а не предсказываем запись в табеле.
Формула
Среднее арифметическое n чисел x₁, x₂, …, xₙ обозначается чертой над иксом и считается по формуле:
x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
Индексы 1, 2, …, n нумеруют значения, а x̄ читается «икс с чертой» и обозначает их среднее. В знаменателе — количество чисел, в числителе — их сумма. Должно быть хотя бы одно значение: для пустого набора получилось бы деление на ноль, поэтому среднего у него нет.
Что такое «среднее» — на пальцах
Среднее арифметическое — это такое значение, которое каждый член ряда мог бы «иметь», если бы общая сумма распределилась поровну. Если у вас четверо друзей принесли с собой 2, 4, 6 и 8 конфет, и вы решили поделить всё поровну, каждому достанется по 5 — потому что (2 + 4 + 6 + 8) ÷ 4 = 5. Это и есть среднее: «справедливый» расклад.
Геометрически это «центр масс» данных: если расставить все числа на числовой прямой как одинаковые гирьки, среднее арифметическое — это точка, в которой можно подставить палец, и прямая будет в равновесии.
Три способа посчитать (и когда какой удобен)
Способ 1. Прямой счёт
Сложить всё, поделить на количество. Подходит для маленьких рядов: 5–10 чисел. Найти среднее температур за неделю или среднюю оценку — секундное дело.
Способ 2. Метод отклонений
Когда чисел много и они близки друг к другу, удобно выбрать «опорное» число (например, целое или круглое), посчитать отклонения каждого числа от него, усреднить отклонения, а потом добавить к опорному.
Пример: в пяти одинаково взвешенных наблюдениях получены температуры 19,8; 20,3; 20,1; 19,9; 20,4 °C. Берём опорное число 20. Отклонения: −0,2; +0,3; +0,1; −0,1; +0,4. Их сумма +0,5, среднее отклонение 0,1. Прибавляем к опорному: 20 + 0,1 = 20,1 °C. Результат тот же, что при прямом суммировании, но считать небольшие отклонения удобнее.
Способ 3. Среднее взвешенное
Для значений с разными весами используют взвешенное среднее: x̄ = (w₁x₁ + … + wₙxₙ)/(w₁ + … + wₙ), где wᵢ — неотрицательные веса и их сумма положительна. Например, если оценка 5 имеет вес 2, а оценка 3 вес 1, результат (2 · 5 + 1 · 3)/3 = 13/3 ≈ 4,33. Веса могут означать число повторений или заранее установленную значимость. При одинаковых весах формула становится обычным средним арифметическим; произвольная смена весов меняет результат.
Среднее во взрослой жизни: зарплаты, климат, медицина
Средняя зарплата. Возьмём условную, не статистическую выборку из пяти зарплат: 30, 35, 40, 45 и 300 тысяч рублей. Сумма 450 тысяч, среднее — 90 тысяч, хотя четыре человека получают меньше. Медиана равна 40 тысячам: это центральное значение отсортированного списка. Большая зарплата одного человека сильно влияет на среднее. Но медиана не обязана быть ниже среднего на фиксированный процент и не описывает каждого работника. Для реальной статистики нужны период, состав выборки и определение дохода, иначе сравнение двух чисел может вводить в заблуждение.
Климат и погода. По полному ряду сопоставимых суточных средних можно получить среднее за год, сложив их и разделив на число дней. При объединении месячных средних нужно учитывать разное число дней в месяцах. Для сравнения лет важно, на какой станции и каким способом получены наблюдения, нет ли пропусков. Без названного периода и источника нельзя выдавать примерные температуры за измеренный климатический тренд: одно среднее число не раскрывает всей картины.
Медицина: где пример не подходит. Запись давления 120/80 не является средним арифметическим двух чисел. Это два разных показателя: систолическое давление при сокращении сердца и диастолическое при расслаблении. Их нельзя заменить полусуммой 100 и сохранить смысл записи. Здесь важно распознать разные величины, а не усреднять всё, что выглядит как пара чисел. Медицинская интерпретация показателей выходит за рамки этой математической статьи.
Задачи для самопроверки
Задача 1. За пять контрольных Аня получила: 4, 5, 4, 3, 5. Какое среднее арифметическое её оценок?
Решение. Сумма: 4 + 5 + 4 + 3 + 5 = 21. Количество: 5. Среднее: 21 ÷ 5 = 4,2. Ответ: 4,2.
Задача 2. Среднее арифметическое четырёх чисел — 12. Три из них: 8, 14, 10. Найдите четвёртое.
Решение. Если среднее четырёх чисел равно 12, значит их сумма равна 12 · 4 = 48. Сумма трёх известных: 8 + 14 + 10 = 32. Четвёртое число: 48 − 32 = 16. Ответ: 16.
Задача 3. В классе 25 учеников. Средний рост 15 девочек — 158 см, средний рост 10 мальчиков — 165 см. Найдите средний рост в классе.
Решение. Это задача на среднее взвешенное. Суммарный рост девочек: 158 · 15 = 2370 см. Суммарный рост мальчиков: 165 · 10 = 1650 см. Всего: 2370 + 1650 = 4020 см. Среднее: 4020 ÷ 25 = 160,8 см. Ответ: 160,8 см. Обратите внимание: это не среднее от 158 и 165 (которое было бы 161,5) — потому что девочек больше, и их рост «тянет» среднее вниз.
Задача 4. Среднее арифметическое десяти чисел — 30. Если добавить ещё одно число, среднее станет 31. Какое число добавили?
Решение. Сумма десяти чисел: 30 · 10 = 300. После добавления чисел стало 11, среднее стало 31, значит новая сумма: 31 · 11 = 341. Добавленное число: 341 − 300 = 41. Ответ: 41.
Немного истории
Средние связаны с древними задачами о пропорциях и равновесии. Архимед в III веке до н. э. исследовал равновесие плоских фигур и рычагов. На современном языке координата центра масс — взвешенное среднее координат грузов, где веса равны массам; обычное арифметическое получается только при равных массах. Античная математика рассматривала арифметическое, геометрическое и гармоническое средние. Это разные конструкции: например, для 6 и 12 они равны 9, √72 и 8. Выбор зависит от задачи, а не от того, какое число кажется удобнее.
В XIX веке средние стали важной частью социальной статистики. Адольф Кетле в работе 1835 года развивал представление о «среднем человеке» (l’homme moyen), сопоставляя массовые наблюдения. Это не означает существования человека со всеми средними признаками сразу. Современная запись x̄ лишь кратко обозначает среднее выбранных значений; сама формула не объясняет причины различий между людьми. Поэтому историческую идею полезно отделять от интерпретации конкретного набора данных.
Парадокс Симпсона: когда среднее обманывает
Парадокс Симпсона возникает, когда направление сравнения долей в отдельных группах меняется после объединения групп с разными весами. Известный пример — данные приёма в магистратуру и аспирантуру Беркли за 1973 год, исследованные Бикелом, Хэммелом и О’Коннеллом в статье 1975 года. В общей выборке доля принятых мужчин была выше. Однако анализ по подразделениям не подтвердил простой вывод из общей доли: женщины чаще подавали заявления в подразделения с более низким приёмом для обоих полов. Значимые различия по подразделениям встречались в обе стороны. Поэтому при сравнении общих долей важно проверить состав групп и их веса: одинаковая формула среднего может объединять существенно разные наборы данных.
Мораль: среднее — мощный, но опасный инструмент. Прежде чем принимать решение на основе одного числа, всегда стоит спросить: «а как это число распределено внутри?» Среднее температуры по больнице — это не диагноз.
FAQ
Чем среднее арифметическое отличается от медианы?
Среднее — сумма, делённая на количество. Медиана — центральное значение отсортированного ряда, а при чётном количестве — полусумма двух центральных. У ряда 1, 2, 3, 4, 100 среднее равно 22, медиана — 3. Изменение одного крайнего значения сильно влияет на среднее, но здесь не меняет медиану.
Может ли среднее быть больше любого из чисел?
Нет. Среднее арифметическое всегда находится между минимальным и максимальным числом в ряду. Если все числа отрицательные, среднее тоже будет отрицательным.
Что такое среднее значение в Excel?
Функция СРЗНАЧ (AVERAGE) считает обычное среднее. Для значений A1:A5 и неотрицательных весов B1:B5 взвешенное среднее можно записать как СУММПРОИЗВ(A1:A5;B1:B5)/СУММ(B1:B5); сумма весов должна быть положительной. Английские имена — SUMPRODUCT и SUM. СРГАРМ (HARMEAN) вычисляет гармоническое среднее и не заменяет взвешенное арифметическое.
Как округлять среднее арифметическое?
По школьному правилу смотрят на следующую цифру: если она 5 или больше, последнюю оставляемую цифру увеличивают на 1, иначе оставляют. Для отрицательного числа округляют модуль и возвращают знак: −4,26 до десятых даёт −4,3. В расчётах лучше округлять окончательный результат. Правила выставления школьной отметки задаются отдельно и не следуют автоматически из округления среднего.
Можно ли посчитать среднее процентов?
Сначала уточните, что усредняется. Для доли сэкономленных денег весом служит стоимость товаров до скидки, а не просто их количество. Если все товары первоначально стоили одинаково, у 100 товаров скидка 10%, у 10 товаров — 30%, общая скидка составит (100 · 10 + 10 · 30)/110 ≈ 11,8%. При разных исходных ценах такой расчёт по количеству не подходит: сложите экономию в рублях и разделите на общую стоимость до скидок.
Короткий ответ
Обычное среднее сохраняет общую сумму при равномерном распределении. Среднее ряда 2, 4, 6, 8 равно 5: четыре раза по 5 дают те же 20. Если значения представляют группы разной численности, учитывайте численность каждой группы как вес.
Проверьте себя
Чему равно среднее 2, 5 и 11?
(2 + 5 + 11)/3 = 18/3 = 6. Оно находится между минимумом 2 и максимумом 11.
У двух групп средние 10 и 20, численность 3 и 1. Каково общее среднее?
(3 · 10 + 1 · 20)/4 = 12,5, не 15. Полусумма дала бы одинаковый вес группам разной численности.
Можно ли посчитать среднее, если наблюдений нет?
Нет. Количество значений равно нулю, а деление на ноль не определено. Отсутствие данных не означает нулевое среднее.