Дискриминант D=b²−4ac показывает число действительных корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0 при a≠0: два при D>0, один кратный при D=0 и ни одного при D<0. В комплексных числах при D<0 корни существуют.
Формула дискриминанта
Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, дискриминант вычисляют по формуле D = b² − 4ac. Здесь a — коэффициент при x², b — коэффициент при x, c — свободный член.
- Если D > 0, у уравнения два различных действительных корня.
- Если D = 0, действительный корень один: x = −b/(2a). Его также называют двукратным.
- Если D < 0, действительных корней нет.
Дискриминант помогает заранее выбрать нужную ветвь решения: искать два действительных корня, один или не продолжать вычисления в действительных числах. При D ≥ 0 корни находят по формуле x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a).
Знак D различает три случая: два различных действительных корня, один двукратный действительный корень или отсутствие действительных корней.
Что значит «корни уравнения» на пальцах
Корень уравнения — значение x, при подстановке которого равенство становится верным. На графике y = ax² + bx + c действительные корни — это абсциссы точек, где парабола пересекает или касается оси X.
В прикладной задаче математический корень ещё проверяют по ограничениям модели. Например, если x обозначает время, отрицательное значение не описывает момент после запуска. Знак D сообщает число действительных корней квадратного уравнения, но не отменяет такую проверку.
Откуда берётся формула D = b² − 4ac
Возьмём общее квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Разделим на a и перенесём свободный член: x² + (b/a)·x = −c/a. Добавим к обеим частям (b/(2a))². Тогда (x + b/(2a))² = b²/(4a²) − c/a = (b² − 4ac)/(4a²).
Слева стоит квадрат. Знаменатель 4a² положителен, потому что a ≠ 0. Поэтому возможность извлечь действительный квадратный корень определяет знак числителя D = b² − 4ac.
- Если D > 0, справа положительное число: получаются два разных действительных корня, x₁ ≠ x₂.
- Если D = 0, справа ноль: получается одно значение x = −b/(2a), то есть двукратный корень.
- Если D < 0, справа отрицательное число: квадрат действительного числа таким быть не может, поэтому действительных корней нет.
Алгоритм за три шага
Шаг 1. Привести уравнение к виду ax² + bx + c = 0. Записать a, b, c вместе со знаками. Например, 3x² − 7x = 5 превращается в 3x² − 7x − 5 = 0, поэтому a = 3, b = −7, c = −5. Если какого-то члена нет, его коэффициент равен нулю: в x² − 9 = 0 коэффициент b = 0.
Шаг 2. Подставить коэффициенты в D = b² − 4ac. Сначала вычислить b² и 4ac, затем найти разность. Если b = −5, то b² = (−5)² = 25, а не −25.
Шаг 3. По знаку D найти действительные корни. При D > 0: x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a). При D = 0: x = −b/(2a). При D < 0 действительных корней нет. Полученные значения полезно подставить в исходное уравнение.
Пример: D > 0
Решим 2x² − 5x + 2 = 0. Здесь a = 2, b = −5, c = 2. Вычисляем: D = (−5)² − 4·2·2 = 25 − 16 = 9. Тогда x₁,₂ = (5 ± 3)/4, поэтому x₁ = 2, x₂ = 0,5.
Проверка: 2·2² − 5·2 + 2 = 8 − 10 + 2 = 0; 2·0,5² − 5·0,5 + 2 = 0,5 − 2,5 + 2 = 0. Оба корня подходят.
Пример: D = 0
Решим 4x² − 12x + 9 = 0. Здесь a = 4, b = −12, c = 9. Получаем D = (−12)² − 4·4·9 = 144 − 144 = 0. Два знака в формуле дают одно значение: x = 12/(2·4) = 12/8 = 1,5. Проверка: 4·1,5² − 12·1,5 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0.
Пример: D < 0
Для 3x² + 2x + 5 = 0 имеем a = 3, b = 2, c = 5. Тогда D = 2² − 4·3·5 = 4 − 60 = −56. В действительных числах квадратный корень из −56 не определён, поэтому действительных корней нет. На графике парабола не пересекает ось X.
Когда помогает теорема Виета
Если у уравнения x² + px + q = 0 есть корни x₁ и x₂, то x₁ + x₂ = −p и x₁·x₂ = q. Поэтому x² − 5x + 6 = 0 удобно решить устно: числа 2 и 3 в сумме дают 5, а в произведении 6.
Теорема Виета дополняет формулу через D. Если подходящую пару чисел видно сразу, она сокращает вычисления. Если подобрать корни трудно, формула через D даёт надёжный алгоритм; ещё один общий способ — выделение полного квадрата.
Сокращённый способ через D₁
Когда коэффициент b чётный, запишем b = 2k. Тогда удобно считать «маленький дискриминант» D₁ = k² − ac. Обычная величина D связана с ним равенством D = 4D₁, а корни находятся по формуле x₁,₂ = (−k ± √D₁)/a.
Например, для x² − 6x + 5 = 0 имеем k = −3 и D₁ = 9 − 5 = 4. Тогда x₁,₂ = (3 ± 2)/1, то есть 5 и 1.
Как знак D связан с графиком и моделями
Для графика y = ax² + bx + c уравнение ax² + bx + c = 0 задаёт точки пересечения с осью X. Поэтому при D > 0 парабола пересекает ось X в двух точках, при D = 0 касается её в одной точке, а при D < 0 не имеет с ней общих точек.
В задачах о движении, геометрии или экономике эта интерпретация работает только после того, как величина действительно описана квадратичной функцией. Затем каждый найденный корень проверяют по ограничениям задачи: времени, длине, количеству и другим допустимым значениям.
Где дискриминант применяется на практике
Формула нужна не потому, что любая траектория, арка или прибыль обязательно задаётся параболой. Сначала строят модель и получают квадратное уравнение, а уже затем по знаку D выясняют, сколько допустимых решений может быть. Покажем это на двух задачах, где результат можно проверить по смыслу.
Движение: когда тело окажется на заданной высоте
Пусть приближённая высота тела после вертикального запуска описывается формулой h(t) = −5t² + 20t, где h измеряется в метрах, а t — в секундах. Найдём моменты, когда высота равна 15 м: −5t² + 20t = 15. После переноса и деления на −5 получаем t² − 4t + 3 = 0.
Здесь a = 1, b = −4, c = 3. D = 16 − 12 = 4, поэтому t₁,₂ = (4 ± 2)/2. Получаются t₁ = 1 с и t₂ = 3 с. Оба ответа имеют смысл: первый раз тело проходит отметку 15 м при подъёме, второй — при спуске. Проверка даёт h(1) = −5 + 20 = 15 и h(3) = −45 + 60 = 15. Квадратичные модели движения и обязательная проверка ответа по условию разобраны также в учебном разделе OpenStax Algebra 1.
Геометрия: стороны прямоугольника по площади
Ширина прямоугольника равна x м, длина на 3 м больше, а площадь составляет 40 м². Тогда x(x + 3) = 40, то есть x² + 3x − 40 = 0. Вычисляем D = 3² − 4·1·(−40) = 9 + 160 = 169. Корни: x₁ = (−3 + 13)/2 = 5 и x₂ = (−3 − 13)/2 = −8.
Алгебраически подходят оба корня, но отрицательная длина невозможна. Поэтому ширина равна 5 м, длина — 8 м; проверка: 5·8 = 40 м². Этот пример показывает, почему вычисление корней — ещё не последний шаг решения текстовой задачи.
Попробуйте сами
Задача 1. Решите через формулу D уравнение x² − 9 = 0.
Показать решение
a = 1, b = 0, c = −9. D = 0² − 4·1·(−9) = 36. √D = 6. x₁ = (0 + 6)/2 = 3, x₂ = (0 − 6)/2 = −3. Ответ: x₁ = 3, x₂ = −3.
Задача 2. При каких значениях m уравнение x² + mx + 9 = 0 имеет один действительный корень?
Показать решение
Один различный действительный корень — значит D = 0. Здесь a = 1, b = m, c = 9. D = m² − 36 = 0, откуда m = 6 или m = −6. При m = 6 двойной корень равен −3, при m = −6 — 3. Ответ: m = ±6.
Задача 3. Парабола описывается уравнением y = x² − 4x + 5. Пересекает ли она ось X?
Показать решение
Точки пересечения с осью X — действительные корни уравнения x² − 4x + 5 = 0. D = 16 − 20 = −4. Действительных корней нет. Это также видно из записи y = (x − 2)² + 1: значение всегда положительно. Ответ: не пересекает.
Типичные ошибки и быстрая проверка
- Не привести уравнение к нулю. В записи 2x² + 3x = 5 свободный член равен −5 только после переноса: 2x² + 3x − 5 = 0.
- Потерять знак коэффициента. Если b = −6, то b² = (−6)² = 36. Скобки здесь защищают от ошибки.
- Забыть знаменатель 2a. Вся числительная часть −b ± √D делится на 2a, а не только корень.
- Считать два корня при D = 0. Знаки «плюс» и «минус» дают одно и то же число, поэтому различный действительный корень один.
- Остановиться после вычислений. Подстановка в исходное уравнение проверяет арифметику, а ограничения задачи отсеивают физически невозможные значения.
Полезна и проверка по теореме Виета. Для ax² + bx + c = 0 сумма найденных корней должна равняться −b/a, а произведение — c/a. В примере 2x² − 5x + 2 = 0 корни 2 и 0,5 дают сумму 2,5 = 5/2 и произведение 1 = 2/2.
Как появилось название
Способы решения задач, которые сегодня сводятся к квадратным уравнениям, известны со времён древневавилонской математики. Это были алгоритмы для конкретных числовых задач, а не уравнения в современной буквенной записи; их ход близок к выделению полного квадрата. Такое уточнение и примеры приводит исторический обзор MacTutor о квадратных, кубических и биквадратных уравнениях.
Название discriminant, то есть «различающий», ввёл Джеймс Джозеф Сильвестр в 1851 году при исследовании алгебраических форм. Число действительно различает типы корней, не требуя сначала вычислить сами корни. Историю термина и исходную публикацию Сильвестра приводит архив MacTutor Университета Сент-Эндрюс.
Дискриминант у многочленов старших степеней
Похожая характеристика есть не только у квадратного трёхчлена. Для кубического многочлена ax³ + bx² + cx + d с действительными коэффициентами, где a ≠ 0, она равна Δ = b²c² − 4ac³ − 4b³d − 27a²d² + 18abcd. При Δ > 0 кубическое уравнение имеет три различных действительных корня; при Δ < 0 — один действительный корень и два комплексно-сопряжённых; при Δ = 0 среди корней есть совпадающие. Эти случаи и формула приведены в справке MacTutor о дискриминанте.
Для многочлена любой степени нулевое значение указывает на кратный корень: два или несколько корней совпадают. Поэтому общая идея сохраняется — характеристика сообщает важное свойство корней до их полного вычисления. При этом не следует смешивать два разных факта: дискриминант существует и для степеней выше четвёртой, хотя общей формулы решения уравнений пятой степени и выше через радикалы нет.
Частые вопросы
Что такое дискриминант простыми словами?
Это число, которое показывает количество различных действительных корней квадратного уравнения. Оно считается по формуле D = b² − 4ac: при D > 0 корней два, при D = 0 — один двукратный, при D < 0 действительных корней нет.
Что делать, если дискриминант отрицательный?
В рамках школьной задачи записывают: «действительных корней нет». Если изучаются комплексные числа и коэффициенты уравнения действительны, при D < 0 получаются два комплексно-сопряжённых корня.
Можно ли решить уравнение без дискриминанта?
Да — разложением на множители, теоремой Виета, выделением полного квадрата или графическим способом. Формула через D удобна тем, что даёт единый школьный алгоритм и не требует заранее угадывать корни.
Чем D отличается от D₁?
Если b = 2k, то D₁ = k² − ac, а D = 4D₁. Корни можно считать по сокращённой формуле x₁,₂ = (−k ± √D₁)/a. При чётном b числа обычно получаются проще.
Где применяется дискриминант?
Дискриминант используют в любой задаче, которая после построения модели сводится к квадратному уравнению: например, при анализе пересечений параболы с заданным уровнем. Прикладной ответ обязательно проверяют по ограничениям исходной задачи.
Всегда ли отрицательный D означает, что решений нет?
Только если речь идёт о действительных корнях квадратного уравнения. В комплексных числах при D < 0 и действительных коэффициентах существуют два комплексно-сопряжённых корня. В школьных задачах область чисел обычно указана явно или подразумеваются действительные числа.
Как понять, что коэффициент a выбран правильно?
Сначала соберите все слагаемые в одной части и расположите их по степеням x. Коэффициент a стоит при x² и обязан быть ненулевым. Если после упрощения x² исчез, уравнение стало линейным и формула D = b² − 4ac к нему не применяется.
Проверьте себя
Какие коэффициенты a, b, c у уравнения 4x² − 7 = 0?
a = 4, b = 0, c = −7. Если члена с x нет, его коэффициент равен нулю.
Сколько различных действительных корней при D = 0?
Один: x = −b/(2a). В формуле два знака дают одно и то же значение, поэтому корень называют двукратным.
Как быстро проверить найденный корень?
Подставить значение x в исходное уравнение. Если левая часть равна правой, корень подходит; в прикладной задаче нужно также проверить ограничения модели.
Что изучать дальше
После вычисления D полезно связать формулу с разложением квадратного трёхчлена, теоремой Виета и графиком параболы:
- База перед темой: Квадратные уравнения: 4 способа решения с нуля
- Следующий способ: Теорема Виета: как корни связаны с коэффициентами
- Связь с графиком: Квадратная функция и парабола
Следующий шаг. Решите квадратные уравнения и проверьте дискриминант в тематическом уроке.