В прямоугольном треугольнике c² = a² + b², где c — гипотенуза, а a и b — катеты. Отсюда c = √(a²+b²), а неизвестный катет a = √(c²−b²). Теорема Пифагора применяется только к прямоугольным треугольникам на евклидовой плоскости.
Что утверждает теорема Пифагора
Пусть у треугольника один угол равен 90°. Две стороны, которые образуют этот угол, называются катетами. Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой. Тогда квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
c² = a² + b².
Здесь речь именно о длинах. Они положительны, поэтому после извлечения квадратного корня выбирают положительное значение. Формула не означает, что c = a+b: складываются квадраты длин, а не сами стороны.
Как определить стороны
Гипотенуза лежит напротив прямого угла и всегда длиннее каждого катета. Катеты образуют прямой угол. Если прямой угол не дан и его нельзя доказать, равенство a²+b²=c² использовать нельзя. Для произвольного треугольника подходит, например, теорема косинусов.
Как найти неизвестную сторону
| Что известно | Что ищем | Формула | Проверка результата |
|---|---|---|---|
| Два катета a и b | Гипотенузу c | c = √(a²+b²) | c должна быть больше a и b |
| Гипотенуза c и катет b | Катет a | a = √(c²−b²) | c должна быть больше b |
| Три стороны, c — наибольшая | Прямой угол | a²+b² ?= c² | Сначала выбрать самую длинную сторону |
Удобный порядок решения: обозначить прямой угол, найти гипотенузу, записать формулу буквами, подставить числа, выполнить вычисления и проверить, разумна ли полученная длина. Единицы измерения у всех сторон должны быть одинаковыми.
Пошаговые примеры
Найти гипотенузу
Катеты равны 3 см и 4 см. Подставляем значения: c² = 3²+4² = 9+16 = 25. Значит, c = √25 = 5 см. Выбираем положительный корень, потому что длина стороны положительна. Проверка: 5 см больше каждого катета.
Найти катет
Гипотенуза c = 13 см, катет b = 5 см. Тогда a² = c²−b² = 13²−5² = 169−25 = 144, откуда a = 12 см. Проверяем подстановкой: 5²+12² = 25+144 = 169 = 13².
Лестница у стены
Лестница длиной 5 м опирается на вертикальную стену, а её нижний конец находится в 3 м от стены. Если пол горизонтален и стена перпендикулярна полу, получается прямоугольный треугольник. Лестница — гипотенуза, расстояние до стены и искомая высота h — катеты.
Составим уравнение: 3²+h² = 5². Тогда h² = 25−9 = 16 и h = 4 м. Условие о перпендикулярности стены и пола важно: без прямого угла применять теорему нельзя.
Ответ с корнем
У прямоугольного треугольника катеты 5 см и 5 см. c = √(5²+5²) = √50 = √(25·2) = 5√2 см. Точное значение лучше сохранить в виде 5√2. При необходимости можно округлить в самом конце: 5√2 ≈ 7,07 см.
Почему теорема верна: квадраты как площади
Квадрат числа имеет наглядный геометрический смысл: a² — площадь квадрата со стороной a. Поэтому теорему можно прочитать так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b внутри квадрата со стороной a+b так, чтобы в центре остался квадрат со стороной c. Площадь большого квадрата равна (a+b)². С другой стороны, она равна сумме площадей четырёх треугольников и центрального квадрата:
(a+b)² = 4·ab/2+c² = 2ab+c².
Раскрываем скобки: a²+2ab+b² = 2ab+c². Вычитаем 2ab из обеих частей и получаем a²+b²=c². Это доказательство не зависит от конкретных размеров треугольника.
Ещё четыре способа увидеть доказательство
Через подобные треугольники
Опустим из вершины прямого угла высоту на гипотенузу c. Она разделит гипотенузу на отрезки p и q, причём p+q=c. Два малых прямоугольных треугольника подобны исходному. Из подобия следуют равенства a²=cp и b²=cq. Складываем их: a²+b²=cp+cq=c(p+q)=c².
Через площади в доказательстве Евклида
На каждой стороне треугольника строят квадрат, а из вершины прямого угла проводят перпендикуляр к гипотенузе. Он делит квадрат на гипотенузе на два прямоугольника. С помощью равенства площадей пар треугольников доказывают, что площади этих прямоугольников соответственно равны площадям квадратов на катетах. Их сумма и даёт площадь квадрата на гипотенузе.
Доказательство Гарфилда через трапецию
Из двух одинаковых прямоугольных треугольников с катетами a и b и третьего треугольника со сторонами c и c составляют прямоугольную трапецию с основаниями a и b и высотой a+b. Угол между двумя сторонами длины c равен 90°, потому что два остальных острых угла исходного треугольника в сумме дают 90°.
Площадь трапеции равна (a+b)²/2. Сумма площадей трёх треугольников равна ab/2+ab/2+c²/2 = ab+c²/2. Приравниваем: (a+b)²/2 = ab+c²/2. Умножаем на 2 и сокращаем 2ab — остаётся a²+b²=c². Этот способ опубликовал Джеймс Гарфилд в 1876 году.
Связь с теоремой косинусов
Для произвольного треугольника c²=a²+b²−2ab·cos γ, где γ — угол между сторонами a и b. При γ=90° косинус равен нулю, поэтому остаётся c²=a²+b². Это показывает, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов. Такой вывод нельзя считать независимым доказательством, если сама теорема косинусов ранее была выведена с помощью теоремы Пифагора.
Обратная теорема Пифагора
Если для сторон треугольника a, b и c, где c — самая длинная сторона, выполняется a²+b²=c², то угол напротив стороны c равен 90°. Это утверждение называется обратной теоремой Пифагора.
Для сторон 6, 8 и 10 самая длинная сторона равна 10. Проверяем: 6²+8² = 36+64 = 100 = 10². Следовательно, треугольник прямоугольный. Важно сначала выбрать наибольшую сторону: нельзя произвольно назначить гипотенузой одну из трёх сторон.
Обратная теорема помогает оценить и другие углы. Если для наибольшей стороны c получено c²<a²+b², угол напротив c острый; если c²>a²+b² — тупой. Например, при контрольной разметке 3–4–5 расстояние между концами двух отрезков должно быть 5 единиц. Меньшее расстояние соответствует острому углу между ними, большее — тупому.
Пифагоровы тройки
Пифагорова тройка — три натуральных числа a, b, c, для которых a²+b²=c². Такие числа удобны в устных вычислениях и практической разметке.
| a | b | c | Проверка |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 |
| 20 | 21 | 29 | 400+441=841 |
Один из способов получать пифагоровы тройки: выбрать натуральные m>n и вычислить a=m²−n², b=2mn, c=m²+n². Например, при m=2 и n=1 получаем 3, 4, 5. Формулы всегда дают тройку, потому что (m²−n²)²+(2mn)²=(m²+n²)². Не каждая полученная тройка обязательно примитивна: у её чисел может быть общий делитель.
Теорема Пифагора в координатах
Для точек A(x₁,y₁) и B(x₂,y₂) разности координат |x₂−x₁| и |y₂−y₁| можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника. Его гипотенуза — расстояние AB:
AB = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²).
Пример: A(1,2), B(4,6). Разности координат равны 3 и 4, поэтому AB=√(3²+4²)=5. Знаки разностей не влияют на результат после возведения в квадрат, но обе разности должны вычисляться в одном порядке.
Диагональ прямоугольника и параллелепипеда
Диагональ прямоугольника со сторонами a и b делит его на два прямоугольных треугольника, поэтому d=√(a²+b²). У квадрата со стороной a получается d=a√2.
Для прямоугольного параллелепипеда со сторонами a, b и h сначала находят диагональ основания √(a²+b²), а затем применяют теорему ещё раз:
d=√(a²+b²+h²).
Например, у коробки 3×4×12 см пространственная диагональ равна √(9+16+144)=√169=13 см. Формула верна именно для прямоугольного параллелепипеда, где смежные рёбра взаимно перпендикулярны.
Где теорема встречается в школьных задачах
- Диагональ прямоугольника или квадрата: стороны фигуры становятся катетами.
- Высота равнобедренного треугольника: проведённая к основанию высота делит основание пополам и образует два прямоугольных треугольника.
- Высота равностороннего треугольника: h²+(a/2)²=a², поэтому h=a√3/2.
- Хорда окружности: перпендикуляр из центра делит хорду пополам; если радиус r, а расстояние от центра до хорды d, то половина хорды равна √(r²−d²).
- Расстояние между точками: разности координат играют роль катетов.
- Прямой угол: равенство квадратов проверяют по обратной теореме.
В заданиях ОГЭ и ЕГЭ прямоугольный треугольник часто не нарисован отдельно. Его приходится увидеть внутри другой фигуры: провести высоту, диагональ, радиус к точке касания или перпендикуляр от центра окружности. Перед вычислениями отметьте на чертеже прямой угол и подпишите, почему он равен 90°.
Если термины ещё путаются, повторите катеты и гипотенузу.
Применение вне учебника
При строительной разметке соотношение 3–4–5 позволяет проверить прямой угол рулеткой. В компьютерной графике и программировании формула расстояния помогает находить длину отрезка на экране. Размер прямоугольного экрана указывают по диагонали, которую можно связать с шириной и высотой. В навигации на небольшой плоской схеме расстояния также вычисляют по координатам.
Однако модель нужно выбирать по масштабу задачи. Для больших расстояний по поверхности Земли нельзя без оговорок считать поверхность плоскостью: применяют формулы сферической геометрии или геодезические методы. Теорема Пифагора описывает евклидово расстояние, а не любой возможный путь между объектами.
Кратко об истории теоремы
Соотношения между сторонами прямоугольных треугольников были известны разным культурам задолго до дошедших до нас греческих доказательств. Вавилонская табличка Plimpton 322 содержит числовые данные, связанные с пифагоровыми тройками. В древнеиндийских и древнекитайских математических текстах также встречаются соответствующие правила и рассуждения.
Теорема традиционно носит имя Пифагора, жившего в VI–V веках до н. э., но надёжных источников, позволяющих приписать ему лично первое доказательство, нет. Корректнее отделять древнее практическое знание соотношения от истории его строгих доказательств и не сводить развитие идеи к одному автору.
Типичные ошибки
- Применять формулу к любому треугольнику. Нужен доказанный прямой угол.
- Перепутать гипотенузу и катет. Гипотенуза лежит напротив угла 90° и является наибольшей стороной.
- Складывать длины. Верно c²=a²+b², но c≠a+b.
- При поиске катета сложить квадраты. Из c²=a²+b² следует a²=c²−b².
- Забыть квадратный корень. Из c²=169 следует c=13, а не 169.
- Взять отрицательный корень. Алгебраическое уравнение x²=25 имеет два корня, но длина стороны равна 5.
- Слишком рано округлить. Сохраняйте √50=5√2 до последнего действия.
- Смешать единицы. Метры и сантиметры сначала приводят к одной единице измерения.
Практические задачи
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12 см. Найдите гипотенузу.
Решение задачи 1
c=√(5²+12²)=√(25+144)=√169=13 см. Проверка: 13 больше 5 и 12.
Задача 2. Гипотенуза равна 10 см, один катет — 6 см. Найдите второй катет.
Решение задачи 2
a=√(10²−6²)=√(100−36)=√64=8 см. Проверка: 6²+8²=36+64=100=10².
Задача 3. Является ли треугольник со сторонами 7, 24 и 25 прямоугольным?
Решение задачи 3
Наибольшая сторона — 25. Вычисляем: 7²+24²=49+576=625=25². По обратной теореме треугольник прямоугольный.
Задача 4. Найдите диагональ квадрата со стороной 6 см.
Решение задачи 4
d=√(6²+6²)=√72=√(36·2)=6√2 см.
Задача 5. Точка A имеет координаты (−2,1), а точка B — (4,9). Найдите расстояние AB.
Решение задачи 5
Разности координат: 4−(−2)=6 и 9−1=8. Тогда AB=√(6²+8²)=√100=10.
Задача 6. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, основание — 10 см. Найдите высоту, проведённую к основанию.
Решение задачи 6
Высота делит основание пополам, поэтому один катет равен 5 см, а гипотенуза — 13 см. h=√(13²−5²)=√144=12 см.
Часто задаваемые вопросы
Чему равна гипотенуза, если катеты равны?
Если оба катета равны a, то c=√(a²+a²)=a√2. Такой прямоугольный треугольник одновременно является равнобедренным.
Работает ли теорема для острого или тупого треугольника?
Равенство c²=a²+b² выполняется только при угле 90° между сторонами a и b. Для остальных углов используют теорему косинусов. Сравнение c² с a²+b² помогает определить вид угла напротив наибольшей стороны.
Как быстро найти гипотенузу?
Возведите оба катета в квадрат, сложите результаты и извлеките квадратный корень. Если числа входят в известную пифагорову тройку, ответ можно узнать без длинных вычислений.
Почему гипотенуза всегда самая длинная?
Из c²=a²+b² следует c²>a² и c²>b², поскольку квадраты длин положительны. Значит, c>a и c>b.
Можно ли применять теорему в пространстве?
Да, если последовательно выделять прямоугольные треугольники. Так выводится формула диагонали прямоугольного параллелепипеда d=√(a²+b²+h²). Для произвольной пространственной фигуры одной этой формулы недостаточно.
Что изучать дальше
После прямой и обратной теорем полезно разобрать формулу расстояния на координатной плоскости, свойства высоты в равнобедренном треугольнике и теорему косинусов для непрямоугольных треугольников. Связанные материалы: площадь треугольника, виды треугольников и теорема косинусов.
Перейдите от формулы к схемам
В интерактивных уроках можно строить прямоугольные треугольники и отрабатывать прямую и обратную теоремы.