Рациональное число — это число, представимое как m/n, где m — целое, а n — ненулевое целое число. Знак можно перенести в числитель и выбрать n положительным. Все целые числа, конечные и бесконечные периодические десятичные дроби рациональны.
Например,−3 =−3/1,0,75 =3/4,0,(3) =1/3. Но не всякая бесконечная десятичная запись периодична: √2 рациональным числом не является.
Исторический пример — диагональ квадрата со стороной 1: её длина равна √2 и не выражается отношением целых чисел. Открытие несоизмеримости связывают с ранней греческой математикой; поздние рассказы приписывают его Гиппасу, но не устанавливают надёжно автора именно доказательства о диагонали квадрата. Рассказ о его гибели за разглашение открытия — легенда, а не подтверждённый ход событий. Для распознавания рационального числа важен математический критерий, а не эта история.
💡 Удивительный факт: между любыми двумя различными рациональными числами помещается бесконечно много других рациональных. И всё-таки их «столько же», сколько натуральных чисел, — их можно пронумеровать по порядку. Математики называют такие множества «счётными».
Что такое рациональное число простыми словами?
Рациональное число получается, когда одно целое число делят на другое, не равное нулю. Название связано с латинским ratio — «отношение». Например,3/4 — отношение 3 к 4. Ненулевой знаменатель обязателен: запись 3/0 не задаёт рационального числа.
Представьте плитку шоколада из 4 одинаковых долек. Если вы взяли 3 дольки — у вас 3/4 плитки. Разделили одно яблоко на двоих — каждому по 1/2. Любое такое «деление поровну» даёт рациональное число. Целые числа тоже рациональные: например, 5 = 5/1, а 0 = 0/1.
На схеме видно главное: натуральные числа (1, 2, 3, …) входят в целые (… −2, −1, 0, 1, 2 …), а целые — в рациональные. Рациональные числа — самое широкое из этих множеств: в нём есть и дроби, которых нет среди целых.
Какие числа являются рациональными?
Короткий ответ: рациональны все числа, которые можно превратить в дробь из целых. Это сразу четыре знакомых вида чисел:
- Целые числа: −7, 0, 25. Любое из них — это дробь со знаменателем 1 (например, −7 = −7/1).
- Обыкновенные дроби: 1/2, −3/4, 17/5.
- Конечные десятичные дроби: 0,25 = 1/4; 1,5 = 3/2; −0,8 = −4/5.
- Бесконечные периодические дроби: 0,(3) = 1/3; 0,(6) = 2/3; 0,(142857) = 1/7.
А вот бесконечные непериодические дроби (например, √2 = 1,41421356… или π = 3,14159…) дробью из целых записать нельзя — это уже иррациональные числа.
Как отличить рациональное число от иррационального?
Достаточно посмотреть на десятичную запись числа. Правило короткое: если дробь конечна или повторяется по кругу (период) — число рациональное; если цифры тянутся бесконечно без бесконечного периодического повторения одного блока — иррациональное. Есть два надёжных способа проверки.
Способ 1. Попробовать записать число дробью
Если получается отношение двух целых — число рациональное. Пример: 0,75 = 75/100 = 3/4. Получилось — значит, рациональное.
Способ 2. Посмотреть на «хвост» десятичной дроби
Поделите число столбиком. Если деление обрывается (0,25) или одна и та же группа цифр бесконечно повторяется начиная с некоторого разряда (0,166666… = 0,1(6)) — число рациональное. Если бесконечная десятичная запись не имеет такого периода, как у √2, — число иррациональное. Отдельные цифры и конечные блоки при этом могут повторяться; по одному короткому фрагменту записи отсутствие периода доказать нельзя.
Как перевести периодическую дробь в обыкновенную?
Это главное доказательство, что периодическая дробь рациональна: её всегда можно «свернуть» в дробь из целых. Покажем на числе x = 0,(3), то есть 0,3333…
- Пусть x = 0,3333…
- Умножим на 10: 10x = 3,3333…
- Вычтем первое из второго: 10x − x = 3,3333… − 0,3333…, то есть 9x = 3.
- Отсюда x = 3/9 = 1/3.
Проверка обратным делением: 1 ÷ 3 = 0,3333… — всё сходится. Тем же приёмом 0,(6) = 6/9 = 2/3, а 0,(142857) = 1/7. Любая периодическая дробь сворачивается в отношение целых — поэтому она рациональна.
Где рациональные числа встречаются в жизни?
Практически везде, где мы что-то измеряем или делим. Цена 199,90 рубля, рост 1,75 метра, скидка 30 % (= 0,3), пробег 12,4 км, рецепт на 1,5 стакана муки — всё это рациональные числа. Любой расчёт на калькуляторе или в магазине обычно ведётся с конечными десятичными приближениями. Компьютер чаще всего хранит числа как приближённые двоичные представления, поэтому не всякая десятичная дробь записывается в нём точно.
Когда инженер проектирует деталь с допуском 0,05 мм, бухгалтер считает 13 % налога, а повар делит торт на 8 кусков — все они работают с рациональными числами. Иррациональные (π, √2) появляются реже и обычно «прячутся» в формулах: длина окружности, диагональ квадрата, золотое сечение.
Задачи для самопроверки
Попробуйте решить сами, а потом раскройте решение.
Задача 1. Рационально ли число 0,25?
Да. 0,25 = 25/100 = 1/4 — это отношение двух целых чисел. Значит, число рациональное.
Задача 2. Переведите 0,(7) в обыкновенную дробь
Пусть x = 0,7777… Тогда 10x = 7,7777…, и 10x − x = 7, то есть 9x = 7. Отсюда x = 7/9. Проверка: 7 ÷ 9 = 0,7777… ✓
Задача 3. Рационально ли число 1,2(3)?
Да. Здесь период — цифра 3, а перед ним стоит одна цифра 2 после запятой. По формуле: 1,2(3) = (123 − 12)/90 = 111/90 = 37/30. Проверка: 37 ÷ 30 = 1,2333… ✓ Число рациональное.
Задача 4. Найдите рациональное число между 1/3 и 1/2
Возьмём их среднее: (1/3 + 1/2) ÷ 2 = (5/6) ÷ 2 = 5/12 ≈ 0,4167. Число 5/12 — рациональное и лежит между 1/3 ≈ 0,333 и 1/2 = 0,5. Так можно находить новые рациональные числа между любыми двумя различными рациональными числами — поэтому в таком промежутке их бесконечно много.
Откуда взялось само понятие рационального числа?
С пифагорейской традицией связывают изучение числовых отношений и открытие несоизмеримых величин. Для квадрата со стороной 1 теорема Пифагора даёт диагональ √2. Современное доказательство её иррациональности использует чётность: если √2 =m/n в несократимой дроби, то m² =2n², откуда m чётно; после подстановки m =2k чётным оказывается и n — противоречие несократимости. Поздние предания о Гиппасе и тайне открытия не заменяют свидетельств об авторстве. Само доказательство показывает, почему не все длины можно выразить рациональными числами.
Удивительный финал: каких чисел «больше»?
Вот что переворачивает интуицию. В быту мы видим почти исключительно рациональные числа — цены, проценты, размеры. Кажется, что их «бесконечно много» и они заполняют всю числовую прямую. Но в конце XIX века Георг Кантор доказал: иррациональных чисел несравнимо больше. Рациональные можно пронумеровать (их «счётно много»), а иррациональные — нет. Если бы вы случайно выбрали точку равномерно на любом невырожденном отрезке числовой прямой, почти наверняка попали бы в иррациональное число. Мир чисел куда необычнее, чем дроби из учебника.
Частые вопросы
Является ли 0 рациональным числом?
Да, ноль — рациональное число. Его можно записать в виде дроби 0/1 (или 0/5 — любой ненулевой целый знаменатель подойдёт), а это и есть отношение двух целых чисел. Ноль входит и в целые, и в рациональные числа. Единственное ограничение: на ноль делить нельзя, поэтому в знаменателе его не бывает.
Любая ли дробь является рациональным числом?
Рациональна дробь, у которой числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Например, 3/4 и −7/2 рациональны. А вот запись вроде √2/3 дробью из целых не является: в числителе стоит иррациональное число, поэтому всё выражение иррационально. Важна именно «целость» числителя и знаменателя.
Чем рациональные числа отличаются от действительных?
Действительные (вещественные) числа — это все числа на числовой прямой сразу: и рациональные, и иррациональные. Рациональные — лишь их часть, те, что выражаются дробью из целых. То есть множество рациональных чисел целиком входит в множество действительных, но не наоборот: π и √2 действительные, но не рациональные.
Может ли рациональное число быть отрицательным?
Да. Рациональное число может быть отрицательным: −1/2, −3, −0,75 — это полноценные рациональные числа. Главное условие одно: число выражается отношением двух целых, а целые бывают и отрицательными. Поэтому вся левая половина числовой прямой тоже полна рациональных чисел.
Является ли бесконечная десятичная дробь рациональной?
Зависит от того, есть ли период. Если бесконечная дробь повторяет одну и ту же группу цифр (0,1666… или 0,(142857)) — она рациональна, её можно свернуть в дробь. Если же цифры тянутся без бесконечного периодического повторения одного блока, как у π или √2, — дробь иррациональна и в отношение целых не сворачивается.