Целые числа — это числа …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …: положительные целые, ноль и отрицательные целые. Они помогают описывать значения по обе стороны от выбранного нуля.
Например, термометр со шкалой Цельсия может показывать +5 °C или −10 °C. Здесь 0 °C — конкретная отметка температурной шкалы, а не «отсутствие температуры». Положительных чисел 1, 2, 3 недостаточно для записи всех таких показаний; это пример применения целых чисел, а не история их изобретения.
Положительные целые числа совпадают с натуральным рядом 1, 2, 3, …, если натуральные числа считают начиная с единицы. Эту договорённость используем ниже; в других определениях к натуральным относят и ноль. Целое число не имеет дробной части, но его запись может содержать запятую или дробную черту: 2,0 = 2 и 6/3 = 2. Важна величина, а не внешний вид записи. Целые числа позволяют считать не только «сколько есть», но и записывать «сколько не хватает».
Исторические названия не всегда совпадают с современными. Например, в «Геометрии» 1637 года Декарт называл отрицательные корни уравнений «ложными», но всё же выполнял с ними преобразования. Это не означает, что такие корни ошибочны. В индийских математических текстах положительные и отрицательные величины объясняли через имущество и долг: такая модель помогает понять знаки и сегодня.
Натуральные числа образуют часть целых. Сравнение определений и примеров разобрано отдельно: чем отличаются натуральные числа от целых.
Что такое целые числа простыми словами?
Целые числа — это числа без дробной части: их можно записать без запятой и без знака деления. Возьмите натуральный ряд для счёта (1, 2, 3, …), добавьте к нему ноль, а затем «отразите» его в зеркале по другую сторону от нуля — получите отрицательные числа (−1, −2, −3, …). Всё вместе и есть целые числа.
Математики обозначают их буквой ℤ — от немецкого слова Zahlen, «числа». Целые числа состоят из трёх частей:
- положительные — это натуральные числа: 1, 2, 3, 4, …;
- ноль — особое число, оно не положительное и не отрицательное;
- отрицательные — числа со знаком минус: −1, −2, −3, ….
Чем целые числа отличаются от натуральных?
При принятом здесь натуральном ряде 1, 2, 3, … натуральные числа — положительная часть целых. Ими считают непустые наборы предметов, а нулём обозначают отсутствие предметов. Целые также позволяют записывать недостачу, долг или целое значение температуры ниже нуля. Любое натуральное число — целое, но ноль и отрицательные целые в выбранный натуральный ряд не входят. Если в другом учебнике натуральный ряд начинается с 0, ноль будет принадлежать обоим множествам.
| Число | Натуральное? | Целое? |
|---|---|---|
| 7 | Да | Да |
| 0 | Нет | Да |
| −4 | Нет | Да |
| 2,5 | Нет | Нет |
| 3/4 | Нет | Нет |
Где целые числа встречаются в жизни?
Ответ: всюду, где есть «выше и ниже нуля», «плюс и минус», «вперёд и назад». Отрицательные значения — не выдумка учебника, а удобный способ записать противоположные по смыслу величины одним числом.
Игра и этажи
В учебной модели лифта отметим уровни …, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …, включая нулевой уровень земли. Переезд с +3 на −2 пересекает пять промежутков между соседними уровнями: 3 − (−2) = 5. В реальном здании нумерация может пропускать ноль, поэтому кнопки сначала нужно сопоставить с уровнями. В настольной игре шаги можно записать так же: движение вперёд на четыре клетки — +4, назад на три — −3; вместе это сдвиг на одну клетку вперёд, 4 + (−3) = 1.
Деньги, температура и счёт матча
В условном денежном учёте суммы в целых рублях можно записывать со знаком: +5000 рублей — средства, −1200 рублей — долг. Реальный баланс бывает и дробным, если учитывать копейки. Синоптики используют отрицательные числа для мороза (−15 °C), а спортивные таблицы — для разницы забитых и пропущенных мячей (+12 или −7). Во всех этих случаях знак числа показывает направление: больше нуля или меньше.
Какие действия можно выполнять с целыми числами?
Целые числа можно складывать, вычитать и умножать — и результат всегда останется целым. Это их важное свойство: набор целых чисел «замкнут» относительно этих трёх действий. А вот делить нацело получается не всегда: 6 : 2 = 3 (целое), но 7 : 2 = 3,5 — уже не целое число.
Главное правило знаков при умножении:
- плюс на плюс даёт плюс: 3 × 4 = 12;
- минус на минус тоже даёт плюс: (−3) × (−4) = 12;
- плюс на минус даёт минус: 3 × (−4) = −12.
А при сложении удобно думать про числовую прямую: прибавить положительное — шаг вправо, прибавить отрицательное — шаг влево. Например, −2 + 5 = 3: стартуем в точке −2 и делаем 5 шагов вправо.
Задачи для самопроверки
1. Сколько целых чисел между −3 и 3?
Это числа −2, −1, 0, 1, 2 — всего 5 чисел (границы −3 и 3 не считаем). Если включать границы, то их 7.
2. Вычислите: −7 + 10 − 4.
Идём по шагам: −7 + 10 = 3, затем 3 − 4 = −1. Ответ: −1.
3. Чему равно произведение (−5) × (−2)?
Минус на минус даёт плюс, поэтому (−5) × (−2) = 10.
Откуда взялись отрицательные числа?
В китайской традиции счёта, связанной с «Математикой в девяти книгах», положительные и отрицательные величины различали с помощью красных и чёрных счётных палочек. Их применение в вычислениях не следует смешивать с современным знаком «−». Индийский математик Брахмагупта в VII веке сформулировал правила сложения, вычитания и умножения положительных и отрицательных величин и нуля. В европейских текстах терминология менялась постепенно: Декарт в 1637 году ещё называл отрицательные корни «ложными», хотя использовал их в алгебре. Единой даты, когда вся Европа «признала минус», у этой истории нет.
Удивительное напоследок
Целых чисел бесконечно много в обе стороны — и положительных, и отрицательных. Казалось бы, их должно быть «вдвое больше», чем натуральных. Но математики доказали: целых чисел ровно «столько же», сколько натуральных. Их можно занумеровать по очереди: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, … — и каждому целому числу достанется свой номер. Это один из первых парадоксов теории бесконечности.
Частые вопросы (FAQ)
Является ли ноль целым числом?
Да, ноль — целое число. Он выбран началом отсчёта на числовой прямой и отделяет положительные числа от отрицательных; у бесконечной прямой нет середины как у конечного отрезка. При этом сам ноль не относят ни к положительным, ни к отрицательным: это особое «нейтральное» число, которое входит в целые, но не входит в натуральные.
Является ли отрицательное число целым?
Отрицательное число является целым, только если у него нет дробной части. Так, −5 и −100 — целые числа, а вот −2,5 или −3/4 целыми не являются. Проще говоря, целые отрицательные — это «зеркальное отражение» натуральных чисел: −1, −2, −3 и так далее.
Чем целые числа отличаются от натуральных?
Натуральные числа — это только положительные числа для счёта: 1, 2, 3 и далее. Целые числа шире: в них входят все натуральные, ноль и отрицательные числа. Значит, любое натуральное число одновременно целое, но ноль и отрицательные числа натуральными не считаются.
Сколько всего целых чисел?
Целых чисел бесконечно много, причём в обе стороны: и положительные, и отрицательные не имеют предела. Нет ни самого большого, ни самого маленького целого числа — к любому можно прибавить или отнять единицу. Ноль ровно один; его принимают за начало отсчёта, но у бесконечной прямой нет геометрического центра.
Является ли дробь целым числом?
Обычно нет: дробь вроде 1/2 или 0,7 целым числом не является, потому что у неё есть дробная часть. Но если дробь сокращается до целого значения (например, 6/3 = 2 или 10/5 = 2), то результат — целое число. Важна не запись, а итоговое значение.