Короткий ответ
Деление столбиком — способ поразрядно найти частное и остаток. Для неотрицательного целого делимого и положительного целого делителя повторяйте цикл: выбрать неполное делимое, найти цифру частного, умножить, вычесть и снести одну следующую цифру. Если всё делимое меньше делителя, частное равно 0, остаток равен делимому.
Проверка: делитель · частное + остаток = делимое, причём 0 ≤ остаток < делитель.
Столбик превращает большое деление в последовательность действий из таблицы умножения. Важно не угадывать весь ответ сразу, а аккуратно повторять один и тот же цикл: делю → умножаю → вычитаю → сношу.
Что значит разделить число
Разделить — значит узнать, сколько одинаковых частей получится или сколько раз одно число содержится в другом. Если 12 долек шоколада поровну распределить между четырьмя людьми, каждый получит по 3 дольки: 12 ÷ 4 = 3. Проверка обратным действием: 3 · 4 = 12.
У чисел в записи деления есть названия:
- делимое — число, которое делят;
- делитель — число, на которое делят;
- частное — результат деления;
- остаток — часть делимого, которую уже нельзя разделить на делитель нацело.
Делить на ноль нельзя. При делении неотрицательных целых чисел на положительный целый делитель результат записывают как a = b · q + r, где a — делимое, b — делитель, q — частное, а остаток r удовлетворяет условию 0 ≤ r < b.
Как делить столбиком по шагам?
- Запишите числа уголком. Делимое находится слева, делитель — справа.
- Найдите первое неполное делимое. Сначала сравните всё делимое с делителем: если 0 ≤ a < b, частное равно 0, остаток — a, и деление с остатком завершено. Иначе возьмите первую слева цифру; если она меньше делителя, присоединяйте следующие цифры, пока не получите число не меньше делителя.
- Подберите цифру частного. Это наибольшая цифра от 0 до 9, при умножении которой на делитель получается число не больше неполного делимого.
- Умножьте и вычтите. Запишите произведение под неполным делимым и найдите разность. Полученный остаток должен быть меньше делителя.
- Снесите одну цифру. Припишите к остатку следующую цифру делимого и повторите цикл.
- Проверьте ответ. Умножьте частное на делитель и прибавьте остаток, если он есть.
Каждая записанная цифра частного соответствует одному разряду. Поэтому после каждого вычитания сносят ровно одну цифру. Если полученное после сноса число меньше делителя, в частном пишут 0 и только затем переходят к следующей цифре.
Подробный пример: 852 ÷ 4
Разделим 852 на 4 по разрядам.
- Сотни: 8 ÷ 4 = 2. Пишем в частном 2. Проверяем: 2 · 4 = 8; после вычитания 8 − 8 остаётся 0.
- Десятки: сносим 5. В числе 5 одна четвёрка, поэтому пишем 1. Вычитаем 5 − 4 = 1.
- Единицы: сносим 2 к остатку 1 и получаем 12. Делим: 12 ÷ 4 = 3. Вычитаем 12 − 12 = 0.
Цифры частного образуют число 213. Значит, 852 ÷ 4 = 213. Обратная проверка: 213 · 4 = 852.
Как не запутаться: главное правило
После каждого вычитания проверяйте две вещи: остаток меньше делителя, а следующая цифра делимого снесена только одна. Затем запишите цифру частного для нового разряда, даже если этой цифрой окажется ноль.
Почему иногда нужен ноль в частном
Рассмотрим 12 045 ÷ 15. Первое неполное делимое — 120. В нём восемь раз по 15, поэтому первая цифра частного равна 8, а остаток равен 0. Сносим цифру 4. Число 4 меньше 15, но этот разряд нельзя пропустить: в частном записываем 0. Затем сносим 5, получаем 45 и записываем цифру 3. Ответ: 12 045 ÷ 15 = 803. Проверка: 15 · 803 = 12 045.
Так же получается 735 ÷ 7 = 105. Сначала 7 ÷ 7 = 1, после сноса цифры 3 записываем в частном 0, затем из 35 получаем 5. Если написать 15 вместо 105, разрядное значение цифр изменится и проверка сразу обнаружит ошибку.
Интерактивная практика
Деление с остатком
Число не всегда делится нацело. Например, 157 ÷ 12. В 15 помещается одна двенадцатка, остаётся 3; после сноса 7 получаем 37. В 37 помещаются три двенадцатки: 3 · 12 = 36, остаётся 1. Поэтому 157 ÷ 12 = 13 (остаток 1).
Проверяем оба условия: 12 · 13 + 1 = 157 и 1 < 12. Если остаток оказался равен делителю или больше него, деление не закончено: можно увеличить частное.
Как делить на двузначное число
Алгоритм остаётся тем же, но цифру частного удобнее подбирать прикидкой. Разделим 1564 на 23. Первое неполное делимое — 156. Число 23 помещается в нём 6 раз, потому что 23 · 6 = 138, а 23 · 7 = 161 уже больше 156. Вычитаем: 156 − 138 = 18. Сносим 4 и получаем 184. Здесь 23 помещается 8 раз: 23 · 8 = 184. Ответ: 1564 ÷ 23 = 68.
Чтобы быстрее подобрать цифру, временно округлите числа: 156 ÷ 23 близко к 160 ÷ 20 = 8. Это только первая оценка; затем обязательно проверяйте произведения. В данном случае 8 слишком много, поэтому пробуем 7, а затем 6.
Какие есть способы проверить и упростить деление?
Способ 1. Проверка умножением
Для деления без остатка должно выполняться равенство «частное · делитель = делимое». Например, 936 ÷ 8 = 117, поскольку 117 · 8 = 936. Для деления с остатком используйте полную запись: 728 ÷ 6 = 121 (остаток 2), потому что 6 · 121 + 2 = 728.
Способ 2. Прикидка через округление
До вычисления полезно оценить порядок ответа. Для 852 ÷ 4 можно взять близкое число 800: 800 ÷ 4 = 200. Точный ответ должен быть немного больше 200. Результат 213 выглядит правдоподобно, а 21 или 2130 явно указывает на ошибку в разрядах.
Частые ошибки
- Пропустили ноль в частном. Если после сноса неполное делимое меньше делителя, запишите 0, чтобы сохранить разряд.
- Снесли сразу две цифры. За один цикл сносят только одну следующую цифру делимого.
- Выбрали слишком большую цифру. Произведение цифры частного на делитель не должно превышать неполное делимое.
- Оставили слишком большой остаток. Остаток всегда меньше делителя.
- Начали с одной цифры, хотя она меньше делителя. В этом случае расширьте первое неполное делимое следующей цифрой.
- Не проверили ответ. Обратное умножение обнаруживает большинство ошибок в подборе и разрядах.
Где деление столбиком встречается в жизни?
Столбик нужен не только в учебнике. Если четыре человека поровну делят расходы 1564 рубля, доля каждого равна 1564 ÷ 4 = 391 рублю. Если на 6 одинаковых наборов потратили 738 рублей, один набор стоит 738 ÷ 6 = 123 рубля.
Тем же способом рассчитывают число рядов плитки, средний расход за период, количество упаковок и равные доли. Даже когда рядом есть калькулятор, прикидка и обратная проверка помогают заметить неверно введённую цифру.
Проверьте себя
Перед задачами попробуйте без подсказки назвать четыре действия одного цикла и объяснить, почему остаток должен быть меньше делителя. Затем оцените порядок ответа: например, результат 4080 ÷ 8 должен быть близок к 4000 ÷ 8 = 500.
Попробуйте сами
1. Разделите 952 на 7
Ответ: 136. Проверка: 136 · 7 = 952.
2. Разделите 1230 на 5
Ответ: 246. Проверка: 246 · 5 = 1230.
3. Разделите 685 на 4 с остатком
Ответ: 171, остаток 1. Проверка: 171 · 4 + 1 = 685, причём 1 < 4.
4. Разделите 4080 на 8
Ответ: 510. Проверка: 510 · 8 = 4080. Последний ноль в частном соответствует последнему разряду делимого.
Кто придумал письменное деление
У деления столбиком нет одного известного изобретателя. Письменные способы вычислений складывались постепенно в разных математических традициях. В Европу десятичные цифры и методы вычислений пришли через труды математиков исламского мира. Латинизированная форма имени аль-Хорезми дала слово «алгоритм», но привычная школьная запись деления формировалась позднее. Поэтому точнее говорить об истории развития метода, а не приписывать современный «уголок» одному человеку.
Как продолжить деление после запятой
Если нужны десятичные знаки, деление можно продолжить: поставить в частном запятую и приписывать к остатку нули. Например, 1 ÷ 4 даёт 0,25. Некоторые десятичные записи не заканчиваются: 1 ÷ 3 = 0,333… Период может состоять и из нескольких цифр: 1 ÷ 7 = 0,(142857), то есть блок 142857 повторяется бесконечно. Это тот же алгоритм, только после запятой появляются новые разряды.
Частые вопросы
Как делить столбиком трёхзначное число?
Если всё делимое меньше положительного делителя, целая часть частного равна 0, а остаток равен делимому. Иначе начните с первой цифры слева; если она меньше делителя, присоедините следующую и при необходимости продолжайте. Подберите цифру частного, умножьте, вычтите, снесите следующую цифру и повторяйте цикл до конца делимого.
Что делать, если число не делится нацело?
Запишите остаток, который получился после последнего вычитания. Он обязан быть меньше делителя. Например, 685 ÷ 4 = 171 (остаток 1), потому что 171 · 4 + 1 = 685.
Когда писать ноль в частном?
Ноль нужен, если после сноса очередной цифры неполное делимое меньше делителя, но справа ещё остаются цифры или обрабатывается текущий разряд. Пропущенный ноль сдвинет все следующие цифры частного.
Как разделить столбиком на двузначное число?
Используйте тот же цикл, а цифру частного подбирайте прикидкой и проверяйте умножением. Если произведение больше неполного делимого, уменьшите цифру; если разность не меньше делителя, увеличьте её.
Как проверить деление?
Умножьте частное на делитель и прибавьте остаток. Должно получиться исходное делимое. Отдельно проверьте, что остаток неотрицателен и меньше делителя.
Зачем учить столбик, если есть калькулятор?
Метод показывает устройство разрядов, тренирует подбор и оценку результата. Благодаря этому проще заметить опечатку в калькуляторе и понять, почему ответ имеет именно такой порядок величины.
Что изучать дальше
Область применения письменного алгоритма стоит связать с натуральными и целыми числами. Правила вычислений с отрицательными числами рассматривают отдельно: приведённый здесь алгоритм частного с остатком описан для неотрицательного делимого и положительного делителя.
Сначала закрепите деление с остатком, затем разберите десятичные дроби и округление чисел. Письменное деление опирается на разряды числа, умножение и вычитание. Для повторения этих связей посмотрите программу курса «Основы математики».
1 комментарий к “Деление столбиком: пошаговый алгоритм с остатком”