Отрицательные числа — это числа меньше нуля; на числовой прямой они расположены слева от 0. Чем дальше отрицательное число от нуля, тем оно меньше: −7 < −3. Они описывают долг, температуру ниже нуля и движение в противоположном направлении.
В европейской математике отрицательные числа ещё много веков считали ложными, фиктивными или просто неудобными. При этом в Китае и Индии с отрицательными величинами работали значительно раньше. А сегодня эту самую «бессмыслицу» понимает любой первоклассник, просто посмотрев на уличный термометр зимой.
Речь об отрицательных числах — числах со знаком «минус». То, что веками сбивало с толку гениев, теперь печатают в каждом прогнозе погоды и рисуют на кнопках лифта. Разберёмся, что такое отрицательные числа, как с ними считать и почему минус на минус внезапно даёт плюс.
Что такое отрицательные числа: коротко
Отрицательные числа — это числа меньше нуля. Их записывают со знаком «минус» впереди: −1, −5, −37, −0,5. Числа больше нуля называют положительными, а сам ноль — ни то, ни другое, он стоит на границе.
Зачем вообще нужны числа «меньше ничего»? Затем, что в жизни у многих величин есть два противоположных направления. Температура бывает выше нуля и ниже нуля. У вас могут быть деньги — а может быть долг. Лифт едет вверх на этажи и вниз, в подземную парковку. Положительные числа описывают одно направление, отрицательные — противоположное. Ноль — точка отсчёта между ними.
Первыми отрицательные числа спокойно использовали в Древнем Китае более двух тысяч лет назад. Китайские счётные палочки делили по цвету: красные означали положительные числа, чёрные — отрицательные. Любопытно, что это прямо противоположно современному выражению «уйти в минус», ведь сегодня красный цвет, наоборот, ассоциируется с убытком и долгом.
Лифт, термометр и счёт в игре
Самый понятный пример отрицательных чисел — зимний термометр. Когда столбик опускается ниже нуля, температуру записывают с минусом: −10 °C. И вот что важно сразу уложить в голове: −10 °C холоднее, чем −5 °C. Чем больше минус, тем ниже температура, хотя само число выглядит «крупнее». Это первая ловушка отрицательных чисел.
Второй пример — лифт в доме с подземной парковкой. Кнопки идут сверху вниз: 2, 1, затем 0 — это уровень земли — а ниже −1 и −2. Этаж −2 находится глубже, чем −1. Поднялись с −2 до 0 — проехали два уровня вверх. Лифт буквально показывает числовую прямую, поставленную вертикально.
Знаком детям и третий пример — счёт в настольной игре. Если за неудачный ход снимают больше очков, чем у вас есть, счёт «уходит в минус»: было 3 очка, сняли 5 — стало −2. Это не ошибка и не конец игры, просто вы временно в долгу перед банком очков.
Числовая прямая: где живут отрицательные числа
Лучший способ навести порядок в отрицательных числах — нарисовать числовую прямую. Это горизонтальная линия, в середине которой стоит ноль. Вправо от нуля идут положительные числа, влево — отрицательные. Чем правее число, тем оно больше; чем левее — тем меньше.
Эта картинка сразу снимает путаницу со сравнением. Какое число больше: −3 или −5? Находим оба на прямой: −3 правее, значит −3 больше. Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного. А из двух отрицательных больше то, что ближе к нулю.
Противоположные числа и модуль
Посмотрите на числа 4 и −4. Они стоят на прямой по разные стороны от нуля, но на одинаковом расстоянии — словно отражение в зеркале. Такие числа называют противоположными. У каждого числа есть своё противоположное, и их сумма всегда равна нулю: 4 + (−4) = 0. Противоположное к нулю — сам ноль.
Расстояние от числа до нуля называют модулем (или абсолютной величиной). Модуль числа −7 равен 7, модуль числа +7 тоже равен 7: расстояние не бывает отрицательным. Записывают модуль двумя вертикальными чертами: |−7| = 7. Модуль очень пригодится дальше — именно через него удобно формулировать правила вычислений.
Положение на прямой даёт не только картинку, но и правила действий: сложение становится движением, а вычитание — прибавлением противоположного числа.
Как складывать и вычитать отрицательные числа
Удобно представлять положительное число как «имущество», а отрицательное — как «долг». Тогда правила сложения становятся почти очевидными.
Числа с одинаковыми знаками. Складываем модули и оставляем общий знак. Долг 3 и ещё долг 5 — это общий долг 8: (−3) + (−5) = −8. Так же и с двумя плюсами.
Числа с разными знаками. Из большего модуля вычитаем меньший, а знак берём у того числа, чей модуль больше. Имущество 10 и долг 3 дают имущество 7: 10 + (−3) = 7. Имущество 4 и долг 9 дают долг 5: 4 + (−9) = −5.
Вычитание сводится к сложению. Вычесть число — то же самое, что прибавить ему противоположное. Запись 5 − 8 означает 5 + (−8) = −3. А вычитание отрицательного числа превращается в прибавление: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. «Минус минус» здесь убирает долг — а убрать долг это всё равно что получить деньги.
Умножение и деление: правило знаков
С умножением и делением всё ещё проще, потому что правило одно на оба действия. Сначала перемножаем (или делим) модули чисел, а потом ставим знак по короткому правилу:
- одинаковые знаки дают «плюс»: (−6) · (−4) = 24;
- разные знаки дают «минус»: (−6) · 4 = −24;
- с делением то же самое: (−20) ÷ (−5) = 4, а (−20) ÷ 5 = −4.
Запомнить легко: одинаковые знаки — «плюс», разные — «минус». Если в произведении несколько множителей, считайте минусы: чётное количество минусов даёт плюс, нечётное — минус.
Правило знаков часто запоминают как скороговорку. Надёжнее увидеть, почему без него привычные свойства арифметики перестали бы работать.
Почему минус на минус даёт плюс
Самый частый вопрос про отрицательные числа: почему (−1) · (−1) вдруг равно +1, а не −1? Это не «просто правило» — это можно понять. Покажем двумя способами.
Способ 1: продолжаем закономерность. Посмотрим на цепочку, умножая на −2: 3 · (−2) = −6, 2 · (−2) = −4, 1 · (−2) = −2, 0 · (−2) = 0. Каждый раз ответ увеличивается на 2. Если продолжить закономерность, следующим должно быть (−1) · (−2) = +2, потом (−2) · (−2) = +4. Чтобы числовая прямая не «порвалась», минус на минус обязан давать плюс.
Способ 2: разворот направления. Умножить число на −1 — значит развернуть его в противоположную сторону, отразить через ноль. Было 5, стало −5. А если развернуть ещё раз, умножив снова на −1, число вернётся обратно: из −5 опять получится 5. Два разворота подряд возвращают в исходное направление — поэтому (−1) · (−1) = +1. Минус, применённый к минусу, отменяет сам себя.
Отрицательные числа вокруг нас
Взрослому человеку отрицательные числа встречаются каждый день, даже если он об этом не думает. Самый явный пример — банковский счёт. Пока на счёте есть деньги, баланс положительный. Если потратить больше, чем есть, баланс становится отрицательным — это и есть долг банку. Бухгалтеры так и говорят про убытки: «компания ушла в минус».
Отрицательными числами измеряют высоту относительно уровня моря. Вершины гор — это положительные отметки, а впадины — отрицательные. Берег Мёртвого моря лежит примерно на 430 метров ниже уровня океана, и на картах это так и пишут: −430 м. В географии, физике, экономике, прогнозе погоды — всюду, где есть две противоположности и точка отсчёта между ними, без отрицательных чисел не обойтись.
Попробуйте сами
Три задачи на отрицательные числа. Сначала решайте сами, потом сверяйтесь.
Задача 1. Утром было −7 °C, днём потеплело на 10 градусов, а к ночи похолодало на 6 градусов. Какая температура стала ночью?
Считаем по шагам. Утро: −7. Потеплело на 10: −7 + 10 = 3 °C. Похолодало на 6: 3 − 6 = −3 °C. Ночью стало −3 °C.
Задача 2. Вычислите: (−4) · (−5) + (−30) ÷ 6.
Сначала умножение и деление. (−4) · (−5): знаки одинаковые, значит плюс, 4 · 5 = 20. (−30) ÷ 6: знаки разные, значит минус, 30 ÷ 6 = 5, получаем −5. Теперь сложение: 20 + (−5) = 15.
Задача 3. Расположите числа в порядке возрастания: −2, 5, −9, 0, −1.
Возрастание — от меньшего к большему, то есть слева направо по числовой прямой. Самое маленькое — то, что дальше всех влево: −9. Затем −2, потом −1, дальше 0 и самое большое 5. Ответ: −9, −2, −1, 0, 5.
История: числа, которых боялись
Путь отрицательных чисел в математику был долгим. Как мы уже сказали, в Древнем Китае ими свободно пользовались более двух тысяч лет назад — в трактате «Математика в девяти книгах» уже есть действия с отрицательными величинами.
Следующий большой шаг сделал индийский математик Брахмагупта в VII веке. Около 628 года он первым записал стройные правила арифметики отрицательных чисел и нуля. Брахмагупта прямо называл положительные числа «имуществом», а отрицательные — «долгом», и формулировал правила вроде «долг, вычтенный из нуля, становится имуществом». Именно эта модель «имущество — долг» дожила до наших школьных учебников.
А вот Европа сопротивлялась дольше всех. Ещё в XVI–XVII веках европейские математики называли отрицательные числа «ложными» и «абсурдными». Знаменитый Рене Декарт называл отрицательные корни уравнений «ложными корнями». Полное признание пришло лишь к XVIII–XIX веку. Получается, европейская математическая традиция принимала привычную нам запись и статус отрицательных чисел постепенно, хотя в других культурах их применяли намного раньше.
Удивительный финал
История отрицательных чисел повторилась снова — и это самое интересное. Как только математики свыклись с числами «меньше нуля», возник новый дерзкий вопрос: а что такое квадратный корень из отрицательного числа? Ведь любое число в квадрате неотрицательно, значит √(−1) «не существует». Точно так же когда-то «не существовали» и сами отрицательные числа.
И снова «невозможные» числа оказались полезными. Из √(−1) выросли мнимые и комплексные числа — без них сегодня не работали бы ни электроника, ни квантовая физика, ни обработка сигналов. Урок отрицательных чисел оказался универсальным: то, что одному поколению кажется абсурдом, следующее поколение спокойно изучает в школе. Математика растёт именно так — расширяя границы того, что считается «настоящим числом».
Частые вопросы
Какое число больше: −5 или −3?
Больше −3. На числовой прямой оно стоит правее и ближе к нулю. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль.
Ноль — это отрицательное число?
Нет. Ноль не положительный и не отрицательный. Он стоит точно на границе и служит точкой отсчёта между двумя группами чисел.
Почему минус на минус даёт плюс?
Потому что умножение на отрицательное число разворачивает направление. Два разворота подряд возвращают в исходную сторону, поэтому минус на минус даёт плюс. Это также единственный вариант, при котором числовые закономерности не нарушаются.
Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
Среди обычных (действительных) чисел — нельзя, ведь квадрат любого числа неотрицателен. Но математики ввели мнимые числа, и в их мире такой корень существует.
Есть ли самое маленькое отрицательное число?
Нет. Отрицательные числа уходят влево по числовой прямой бесконечно: за −1000 есть −1001, и так без конца. Самого маленького числа не существует.
Читайте также
- Пропорции: что это такое и как решать за 30 секунд
- Десятичные дроби: что это такое и как с ними работать
- Округление чисел: правила, примеры и зачем оно нужно
- Среднее арифметическое: что это, формула и 3 способа посчитать
- Деление столбиком: как делить без ошибок
Короткий ответ: итог
В сравнении отрицательных чисел сначала мысленно ставьте их на прямую: правее — значит больше. В действиях отделяйте знак от модуля и проверяйте ответ жизненным смыслом: долг увеличился или уменьшился, температура поднялась или упала.
Проверьте себя
Что больше: -3 или -7?
-3 больше, потому что оно ближе к нулю справа.
Чему равно -5 + 2?
-3.
Где находится -1 на координатной прямой?
Слева от нуля на расстоянии 1.
Что изучать дальше
После чтения полезно порешать примеры на числовой прямой, а затем перейти к действиям без рисунка и проверить каждую ошибку по смыслу знака. перейти к интерактивным урокам.
Интерактивная практика
В интерактивной практике расставляйте числа на прямой и сразу проверяйте, совпал ли знак ответа с направлением движения.