Признаки делимости позволяют по цифрам целого числа определить, делится ли оно без остатка, не выполняя само деление. Для 2, 5 и 10 достаточно последней цифры, для 4 и 8 — последних двух или трёх цифр, для 3 и 9 — суммы цифр, для 6 — одновременной делимости на 2 и 3, а для 11 — знакочередующей суммы.
Возьмите длинное число — например, 123 456 789. Делится оно на 9 или нет? Делить столбиком не нужно: сумма цифр равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, а 45 делится на 9. Значит, исходное число тоже делится на 9. Это один из признаков делимости — правил, которые дают ответ по цифрам числа.
Признаки делимости — это правила, которые позволяют по записи целого числа понять, делится ли оно на выбранный ненулевой целый делитель без остатка, не выполняя само деление.
Короткий ответ: таблица признаков делимости
Для 2, 5 и 10 смотрите на последнюю цифру; для 4 — на две последние; для 8 — на три последние. Для 3 и 9 сложите все цифры. Для 6 одновременно проверьте признаки на 2 и 3. Для 11 найдите знакочередующую сумму цифр.
| Делитель | Признак делимости | Пример |
|---|---|---|
| 2 | Последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8 | 738 делится на 2 |
| 3 | Сумма цифр делится на 3 | 123: 1 + 2 + 3 = 6 |
| 4 | Число из двух последних цифр делится на 4 | 7312: 12 делится на 4 |
| 5 | Последняя цифра — 0 или 5 | 175 делится на 5 |
| 6 | Число делится и на 2, и на 3 | 114: чётное, сумма цифр равна 6 |
| 8 | Число из трёх последних цифр делится на 8 | 7016: 016 = 16 |
| 9 | Сумма цифр делится на 9 | 5274: сумма цифр равна 18 |
| 10 | Последняя цифра — 0 | 710 делится на 10 |
| 11 | Знакочередующая сумма цифр делится на 11 | 2728: 2 − 7 + 2 − 8 = −11 |
| 25 | Две последние цифры — 00, 25, 50 или 75 | 875 делится на 25 |
Важно: перестановка цифр не меняет их сумму. Поэтому числа 5274, 7245 и 4527 либо все делятся на 3 и 9, либо все не делятся. Для других делителей так рассуждать нельзя: перестановка меняет последнюю цифру и последние разряды.
Зачем нужны признаки делимости
Допустим, 84 наклейки нужно разделить поровну между четырьмя людьми. Смотрим на последние две цифры: 84 делится на 4, потому что 84 = 80 + 4 и оба слагаемых делятся на 4. Значит, каждый получит по 21 наклейке.
Признаки особенно полезны при сокращении дробей, разложении на простые множители и поиске НОД и НОК: они помогают быстро выбрать возможный делитель до вычислений.
Смысл признаков — увидеть структуру числа и обосновать ответ. Само правило не сообщает частное: если нужно узнать результат деления, его всё равно придётся вычислить.
Самые простые: делимость на 2, 5 и 10
Эти три признака — близнецы. Все они смотрят только на последнюю цифру:
- На 2 делится число, у которого последняя цифра — чётная: 0, 2, 4, 6 или 8. Примеры: 38, 1024, 7 000 000.
- На 5 делится число, у которого последняя цифра — 0 или 5. Примеры: 175, 490, 12 345.
- На 10 делится число, у которого последняя цифра — 0. Примеры: 30, 710, 1 000.
Почему так? Наша десятичная система устроена просто: каждая цифра, кроме последней, на самом деле умножена на 10, 100, 1000 и так далее — а все эти числа делятся и на 2, и на 5, и на 10. Поэтому от «головы» числа делимость на 2, 5 и 10 не зависит — всё решает последняя цифра, та самая, которая «единицы».
Возьмите 738. Разберите: 700 + 30 + 8. Первые два слагаемых делятся на 2 при любом раскладе (потому что 100 и 10 делятся). Остаётся проверить только 8 — оно чётное, всё число тоже чётное.
Последняя цифра здесь уже не помогает. Зато десятичная запись числа устроена так, что остаток определяется суммой всех цифр — разберём, почему это не фокус, а следствие разрядов.
Делимость на 3 и 9: трюк со суммой цифр
Для 3 и 9 последняя цифра уже не решает всё. Нужно сложить все цифры числа:
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. То же самое — для делимости на 9.
Возьмём число 5274. Складываем цифры: 5+2+7+4 = 18. Восемнадцать делится на 3 (получаем 6) и на 9 (получаем 2). Значит, и само 5274 делится на 3, и на 9. Проверка: 5274 ÷ 3 = 1758, 5274 ÷ 9 = 586. Сходится.
Почему это работает
Возьмём 5274 и распишем его по разрядам: 5274 = 5·1000 + 2·100 + 7·10 + 4. А теперь ловкий трюк: 1000 = 999 + 1, 100 = 99 + 1, 10 = 9 + 1. Подставим:
5274 = 5·999 + 2·99 + 7·9 + (5 + 2 + 7 + 4)
Первая часть (5·999 + 2·99 + 7·9) — это сумма произведений на 9, 99, 999. Все эти числа делятся на 9, а значит, и на 3. Они никак не повлияют на остаток от деления на 9 или 3. Остаётся только сумма цифр — она и решает всё. Изящно, правда?
Если сумма большая — складывайте ещё раз
Для семизначного 9 876 543 сумма цифр равна 9+8+7+6+5+4+3 = 42. Сложим ещё раз: 4+2 = 6. Шесть делится на 3, но не на 9. Значит, 9 876 543 делится на 3 и не делится на 9. Однозначный результат повторного сложения цифр называют цифровым корнем.
Делимость на 4, 8 и 25: смотрим на хвост
На 4 делится число, если две его последние цифры составляют число, делящееся на 4. Пример: 7312 — последние две цифры 12, а 12 ÷ 4 = 3, значит, 7312 делится на 4. А вот 7314 — нет, потому что 14 на 4 не делится.
Логика та же, что и раньше: всё, что стоит перед последними двумя цифрами, — это сотни, тысячи и так далее. Все они делятся на 4 (потому что 100 = 4·25). Так что решает только хвост из двух цифр.
Аналогично работают делители 8 и 25:
- На 8 делится число, если три его последние цифры дают число, делящееся на 8. Пример: 7016 — последние три цифры 016 = 16, и 16 ÷ 8 = 2, значит, 7016 делится на 8.
- На 25 делится число, если две последние цифры — это 00, 25, 50 или 75. Пример: 875, 1200, 14 075.
Делимость на 6: правило двух признаков
На 6 проверять отдельный признак не нужно — 6 = 2·3, и числа 2 и 3 не имеют общих делителей, кроме единицы. Значит, число делится на 6, если делится одновременно на 2 (последняя цифра чётная) и на 3 (сумма цифр делится на 3).
Возьмём 114. Последняя цифра 4 — чётная, значит, делится на 2. Сумма цифр 1+1+4 = 6 делится на 3. Оба условия выполнены — 114 делится на 6 (и правда, 114 ÷ 6 = 19).
Тот же приём работает для делимости на 12 (= 3·4), на 15 (= 3·5), на 18 (= 2·9): в каждой паре множители взаимно просты, поэтому достаточно проверить два более простых признака. Без этого условия произведение получить нельзя. Например, делимость на 2 и на 4 гарантирует делимость на 4, но не на 8.
Делимость на 11: знакочередующая сумма
Возьмём цифры числа и будем складывать их со знаком, который меняется через одну: «плюс, минус, плюс, минус…». Число делится на 11 тогда и только тогда, когда результат делится на 11. Результат может равняться 0, 11, −11, 22 и так далее.
Пример: 2728. Считаем справа налево или слева направо — итог одинаковый по абсолютной величине. Слева направо: 2 − 7 + 2 − 8 = −11. Получилось число, делящееся на 11 (даже само 11). Значит, и 2728 делится: 2728 ÷ 11 = 248.
Ещё пример: 9075. Считаем: 9 − 0 + 7 − 5 = 11. Делится? Да! Проверка: 9075 ÷ 11 = 825.
Теперь правила можно применять почти механически, но именно похожесть признаков создаёт несколько устойчивых ошибок. Проверим их до самостоятельных задач.
Три частые ошибки
- Складывать цифры для любого делителя. Этот способ работает для 3 и 9, но не для 4, 5 или 8. Например, сумма цифр числа 14 равна 5, однако 14 не делится на 5.
- Проверять для 6 только одно условие. Число должно одновременно делиться на 2 и на 3. Число 9 делится на 3, но не на 6; число 8 делится на 2, но не на 6.
- Смотреть на каждую последнюю цифру отдельно. Для 4 и 8 последние цифры образуют одно число: у 7312 проверяем 12, а не цифры 1 и 2 по отдельности.
Попробуйте сами: три задачи с решениями
Перед тем как смотреть ответ, попробуйте честно прикинуть в уме.
Задача 1. Делится ли число 2 538 на 6?
Показать решение
На 6 делится — если делится и на 2, и на 3. Последняя цифра 8 — чётная, на 2 делится. Сумма цифр: 2+5+3+8 = 18, на 3 делится. Оба условия выполнены — 2538 делится на 6. Проверка: 2538 ÷ 6 = 423.
Задача 2. Найдите цифру А, чтобы число 47А16 делилось на 9.
Показать решение
Сумма цифр должна делиться на 9. Считаем то, что известно: 4+7+1+6 = 18. Это уже делится на 9. Значит, цифра А должна быть такой, чтобы новая сумма (18 + А) тоже делилась на 9. Подходят А = 0 и А = 9. Получаем два числа: 47016 и 47916. Оба делятся на 9.
Задача 3. Какой может быть цифра □ в числе 73□, чтобы это число делилось на 4?
Показать решение
На 4 делится число, у которого две последние цифры составляют число, делящееся на 4. Здесь возможны окончания 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 и 39. Из них на 4 делятся только 32 и 36. Значит, □ = 2 или □ = 6, а подходящие числа — 732 и 736.
А что насчёт признака делимости на 7?
Удобный признак существует: отделите последнюю цифру, удвойте её и вычтите результат из числа, образованного остальными цифрами. Если разность делится на 7, исходное число тоже делится на 7. Шаг можно повторять. Например, для 161 получаем 16 − 2·1 = 14; число 14 делится на 7, поэтому 161 тоже делится на 7.
Почему правило верно? Запишем исходное число как 10a + b, где b — последняя цифра, а a — оставшаяся часть. Разность между 10a + b и 10(a − 2b) равна 21b и делится на 7. Кроме того, 10 и 7 взаимно просты, поэтому умножение на 10 не меняет делимость на 7. Следовательно, числа 10a + b и a − 2b одновременно делятся или не делятся на 7.
Часто задаваемые вопросы
Какие основные признаки делимости нужно знать школьнику?
Начните с признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10. Затем добавьте признаки для 4, 6 и 8: они нужны при разложении на множители и сокращении дробей. Признаки для 11, 25 и 7 пригодятся как расширение базового набора.
Существует ли признак делимости на 7?
Существует, и не один. Один из вариантов: удвоить последнюю цифру и вычесть результат из числа, образованного остальными цифрами. Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда получившееся число делится на 7. При необходимости шаг можно повторить.
Почему сумма цифр определяет делимость на 3 и 9, но не на 7?
В десятичной записи 10 при делении на 3 или 9 даёт тот же остаток, что и 1. Поэтому замена 10, 100, 1000 и следующих степеней десятки на 1 сохраняет остаток и превращает число в сумму его цифр. При делении на 7 число 10 не даёт остаток 1, поэтому обычная сумма цифр не является признаком.
Как проверить число на делимость одновременно на 4 и 9?
Числа 4 и 9 не имеют общих делителей, кроме единицы. Значит, число делится на 36 (= 4·9), если выполнены оба признака: две последние цифры дают число, делящееся на 4, и сумма всех цифр делится на 9. Проверьте 1764: последние две цифры 64 делятся на 4; сумма цифр 1 + 7 + 6 + 4 = 18 делится на 9. Оба условия выполнены, и 1764 ÷ 36 = 49.
Можно ли применять признаки делимости к десятичным дробям?
Нет: в школьной арифметике делимость — это отношение целых чисел. Десятичную дробь можно сначала перевести в обыкновенную и затем исследовать делимость её целых числителя и знаменателя, если этого требует задача. Простое умножение на 10 меняет само число, поэтому не доказывает делимость исходной дроби.
Работают ли признаки для отрицательных чисел и нуля?
Да. Для отрицательного целого числа можно проверить его модуль: −114 делится на 6, потому что 114 делится на 6. Ноль делится на любое ненулевое целое число, поскольку 0 = d·0. Делить на ноль нельзя.
Проверьте себя
Делится ли 4 572 на 4 и на 9?
На 4 делится: последние две цифры 72 делятся на 4. На 9 делится: сумма цифр 4 + 5 + 7 + 2 = 18 делится на 9. Значит, 4 572 делится и на 4, и на 9, а также на 36.
Почему 2 145 не делится на 6, хотя сумма цифр делится на 3?
Для 6 нужны оба условия. Сумма цифр равна 12, поэтому число делится на 3, но последняя цифра 5 нечётная, поэтому число не делится на 2 и на 6.
Какую цифру поставить вместо □, чтобы 81□ делилось на 9?
Сумма известных цифр равна 9. Нужно, чтобы 9 + □ делилось на 9, поэтому подходят □ = 0 и □ = 9. Получаются числа 810 и 819.
Делится ли 5 346 на 11?
Знакочередующая сумма равна 5 − 3 + 4 − 6 = 0. Ноль делится на 11, поэтому 5 346 делится на 11; проверка: 5 346 ÷ 11 = 486.
Читайте также
- НОД и НОК: что это, формулы и 3 способа найти
- Двоичная система счисления: как работает и где применяется
Следующий шаг: интерактивная практика
После признаков делимости полезно потренировать выбор правила по виду числа и сразу получать разбор ошибки.
1 комментарий к “Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 и 11”