Правило преобразования графиков функций: в записи g(x)=a·f(b(x−h))+k параметр h сдвигает график по горизонтали, k — по вертикали, a меняет ординаты, а b меняет абсциссы в обратной пропорции. Так новый график получают из известного без повторной таблицы значений.
Главная ловушка — знак внутри функции: f(x−3) означает сдвиг вправо на 3, а f(x+3) — влево на 3. Снаружи знак читается прямо: f(x)+2 поднимает каждую точку на 2.
Четыре базовых преобразования
| Новая формула | Что происходит | Как меняется точка (x; y) |
|---|---|---|
| y=f(x)+k | Сдвиг вверх при k>0, вниз при k<0 | (x; y+k) |
| y=f(x−h) | Сдвиг вправо при h>0, влево при h<0 | (x+h; y) |
| y=a·f(x) | Вертикальный масштаб |a|; при a<0 — отражение относительно Ox | (x; a·y) |
| y=f(bx) | Горизонтальный масштаб 1/|b|; при b<0 — отражение относительно Oy | (x/b; y) |
Если |a|>1, расстояния точек от оси Ox увеличиваются: график вытягивается по вертикали. При 0<|a|<1 он сжимается к Ox. Для b всё наоборот по горизонтали: f(2x) сжимается к Oy в 2 раза, потому что прежнее значение аргумента x₀ теперь достигается уже при x=x₀/2.
Почему это работает: знак внутри скобок обратный
Возьмём точку графика y=f(x) с абсциссой x₀. В функции y=f(x−3) то же значение получится, когда x−3=x₀. Отсюда x=x₀+3: каждая исходная точка переезжает вправо на 3. Для f(x+3) равенство x+3=x₀ даёт x=x₀−3, то есть сдвиг влево.
Такое рассуждение надёжнее мнемоники: при сомнении приравняйте новый внутренний аргумент старой абсциссе. Тогда направление сдвига получится из уравнения, а не из догадки.
Алгоритм для комбинированного графика
- Выберите несколько опорных точек (x₀; y₀) исходного графика y=f(x).
- Для g(x)=a·f(b(x−h))+k при b≠0 найдите новую абсциссу: x=h+x₀/b.
- Найдите новую ординату: y=k+a·y₀.
- Перенесите характерные точки и соедините их с учётом формы исходного графика.
Координатное отображение одновременно учитывает сдвиги, масштабы и отражения.
Формула для точки объясняет порядок без споров о том, какое преобразование «первое». Внутри функции мы решаем b(x−h)=x₀, а снаружи вычисляем k+a·y₀. При b=0 этот способ неприменим: аргумент функции равен нулю. Если f(0) определено, получается постоянная функция g(x)=a·f(0)+k; если нет, например для f(x)=1/x, исходное выражение не определено ни при каком x.
Тренажёр переноса точки
Введите любую точку исходного графика и параметры преобразования. Проверьте сначала один сдвиг, затем масштаб, а после — их комбинацию.
Если интерактив не загрузился: новая точка равна (h+x₀/b; k+a·y₀). Значение b должно отличаться от нуля.
Как выглядит сдвиг на графике
Пример 1. Сдвиг параболы
Теперь изменим величины сдвига. График y=(x−3)²+2 получен из y=x². Внутри стоит x−3, поэтому парабола сдвигается вправо на 3. Снаружи прибавлено 2 — значит, ещё на 2 вверх. Вершина (0;0) переходит в (3;2), ось симметрии становится x=3.
Форма и ширина параболы не меняются: коэффициенты a и b равны 1. Например, точка (1;1) исходной параболы переходит в (4;3).
Пример 2. Отражение и растяжение модуля
Для y=−2|x+1|+4 берём базовый график y=|x|. Запись x+1 равна x−(−1), поэтому вершина идёт на 1 влево. Множитель −2 отражает V-образный график относительно Ox и растягивает его по вертикали в 2 раза. Прибавление 4 поднимает результат.
Вершина (0;0) окажется в (−1;4). Точка (1;1) перейдёт в (0;2): новая абсцисса −1+1, новая ордината 4−2·1.
Пример 3. Горизонтальное сжатие гиперболы
В функции y=1/(2x)−3 можно увидеть f(2x)−3 для f(x)=1/x. Коэффициент b=2 сжимает график по горизонтали в 2 раза, а −3 сдвигает его вниз. Вертикальная асимптота остаётся x=0, горизонтальная асимптота переходит из y=0 в y=−3.
Точка (2;1/2) базовой гиперболы переходит в (1;−5/2): абсцисса делится на 2, к ординате прибавляется −3.
Где обычно ошибаются
- Читают f(x+4) как сдвиг вправо. Представьте x+4 как x−(−4): параметр h равен −4, поэтому движение идёт влево.
- Растягивают f(3x) по горизонтали втрое. Новая абсцисса равна x₀/3, поэтому это сжатие к Oy.
- Путают оси отражения. Минус снаружи, −f(x), меняет y и отражает относительно Ox; минус внутри, f(−x), меняет x и отражает относительно Oy.
- Переносят только вершину. Для надёжного построения нужны ещё точки, пересечения с осями и асимптоты, если они есть.
Где преобразования применяются вне тетради
В компьютерной графике одна и та же форма перемещается, отражается и масштабируется изменением координат её точек. В анализе данных похожая логика используется при нормализации шкал: значения умножают на коэффициент и сдвигают. Поэтому правило «внутри — аргумент, снаружи — значение» связывает школьный график с реальными координатными преобразованиями.
Проверьте себя
1. Как получить y=(x+4)²−1 из y=x²?
Ответ: сдвинуть параболу на 4 влево и на 1 вниз; вершина станет (−4;−1). Если направление вызывает сомнение, запишите x+4 как x−(−4).
2. Что делает преобразование y=−3f(x)?
Ответ: отражает график относительно Ox и растягивает по вертикали в 3 раза. Координата x не меняется, а y заменяется на −3y.
3. Куда перейдёт точка (6;2) при g(x)=2f(3(x−1))−4?
Ответ: в (3;0), потому что x=1+6/3=3, а y=−4+2·2=0. Если потеряли порядок, отдельно примените две формулы для координат.
За координатами стоит зависимость. Посмотрите программу курса «Введение в функции», чтобы выбрать следующий шаг после сдвигов и отражений графика.