Равносторонний треугольник — треугольник с тремя равными сторонами. Все его углы равны 60°, а для стороны a выполняются формулы P=3a, h=a√3/2 и S=a²√3/4.
Определение и признаки
Если AB=BC=CA, треугольник равносторонний. Равным сторонам противолежат равные углы; сумма углов равна 180°, поэтому каждый равен 60°. Верно и обратное: если три угла по 60°, стороны напротив них равны.
В широком определении равнобедренного треугольника как фигуры хотя бы с двумя равными сторонами равносторонний является частным случаем. В школьной классификации его обычно называют отдельно.
Почему высота, медиана и биссектриса совпадают
Проведём от вершины A отрезок к середине M стороны BC. Треугольники ABM и ACM равны по трём сторонам: AB=AC, BM=CM, AM общая. Поэтому углы при A равны, а смежные углы при M равны и вместе дают 180°, значит каждый равен 90°. Один отрезок AM оказался медианой, биссектрисой и высотой. Он также лежит на серединном перпендикуляре к BC.
Высота и площадь: вывод формул
В прямоугольном треугольнике ABM гипотенуза a, один катет a/2. По теореме Пифагора:
h²=a²−(a/2)²=3a²/4, поэтому h=a√3/2.
Площадь S=ah/2, значит S=a²√3/4. Периметр проще: P=3a.
Вписанная и описанная окружности: откуда берётся 2:1
Три медианы любого треугольника пересекаются в центре тяжести и делят каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Это можно увидеть без готовой формулы на одной медиане AM. Расположим B=(−a/2;0), C=(a/2;0), A=(0;h). Среднее арифметическое координат трёх вершин даёт центр тяжести G=(0;h/3). Значит, GM=h/3, а AG=h−h/3=2h/3: действительно, AG:GM=2:1.
В равностороннем треугольнике каждая медиана одновременно является высотой, биссектрисой и серединным перпендикуляром. Поэтому их общая точка G равноудалена и от трёх сторон, и от трёх вершин: здесь совпадают центр вписанной окружности, центр описанной окружности, центр тяжести и ортоцентр. Расстояние от G до стороны равно r=GM=h/3=a√3/6, а расстояние до вершины равно R=AG=2h/3=a√3/3. Отсюда сразу R=2r.
Таблица формул
| Величина | Формула |
|---|---|
| Периметр | P=3a |
| Высота | h=a√3/2 |
| Площадь | S=a²√3/4 |
| Вписанный радиус | r=a√3/6=h/3 |
| Описанный радиус | R=a√3/3=2h/3 |
Решённые примеры
Сторона 6 см. h=6√3/2=3√3 см; S=36√3/4=9√3 см².
Высота 6√3 см. Из h=a√3/2 получаем a=2h/√3=12 см.
Интерактивный чертёж
Изменяйте сторону: подписи a, h, r и R на схеме и расчёт площади обновляются. Форма остаётся подобной самой себе, длины меняются пропорционально a, а площадь — пропорционально a².
Типичные ошибки
- Считают высоту равной стороне. Она короче: h≈0,866a.
- Теряют квадрат. Площадь зависит от a².
- Путают r и R. В равностороннем треугольнике R=2r.
- Допускают угол не 60°. Тогда треугольник уже не равносторонний.
Где это применяется и откуда известно
Треугольная сетка в фермах и каркасах удобна тем, что длины рёбер и углы можно повторять по одному образцу; расчёт конкретной конструкции требует инженерской модели нагрузок. Свойства равностороннего треугольника входят в классическую геометрию: в «Началах» Евклида первая задача строит равносторонний треугольник на данном отрезке. Исторический факт не заменяет доказательство выше: формулы здесь получены из теоремы Пифагора.
Задачи
- Сторона 8 см. Найдите периметр и высоту.
- Площадь равна 16√3 см². Найдите сторону.
- Радиус вписанной окружности равен 3 см. Найдите высоту.
- Может ли равносторонний треугольник иметь угол 70°?
Ответы и как исправить ошибку
- 24 см и 4√3 см. Не складывайте только две стороны: P=3a.
- 8 см. После сокращения √3 получите a²=64; длина положительна.
- 9 см. Используйте r=h/3.
- Нет. Три равных угла в сумме 180°, каждый по 60°.
Сравните фигуру с другими видами треугольников и повторите свойства равнобедренного треугольника.
Перейти к курсу «Геометрия и измерения»
Как восстановить все величины по одной известной
В равностороннем треугольнике одного положительного размера достаточно для определения остальных. Сначала выразите сторону a, затем используйте таблицу формул. Если дан периметр P, то a = P/3. Если известна высота h, то a = 2h/√3. Если дана площадь S, то a = √(4S/√3). Проверяйте размерность: сторона и высота имеют размерность длины, площадь — квадрата длины.
Центр вписанной и описанной окружностей совпадает с точкой пересечения медиан. Медиана делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому расстояние от центра до вершины R = 2h/3, а до основания r = h/3. Получаем R = 2r. Это свойство верно для равностороннего треугольника; переносить его на произвольный треугольник нельзя.
Пять задач для самостоятельной проверки
- Сторона равна 3 см. Найдите периметр, высоту и площадь.
Ответ и проверка
P = 9 см, h = 3√3/2 см, S = 9√3/4 см². Проверка: ah/2 = 3 · (3√3/2)/2.
- Высота равна 6 см. Найдите сторону, периметр и площадь.
Ответ и проверка
a = 4√3 см, P = 12√3 см, S = 12√3 см². Подстановка в h = a√3/2 даёт 6 см.
- Площадь равна 16√3 см². Найдите сторону и радиус описанной окружности.
Ответ и проверка
a²√3/4 = 16√3, значит a² = 64, a = 8 см. R = a√3/3 = 8√3/3 см. Отрицательное значение стороны исключаем.
- Радиус вписанной окружности равен 2 см. Найдите высоту, сторону и площадь.
Ответ и проверка
h = 3r = 6 см, a = 4√3 см, S = 12√3 см². Полупериметр p = 6√3 см, поэтому pr = 12√3 см² — независимая проверка площади.
- Периметр равен 30 см. Найдите площадь.
Ответ и проверка
a = 30/3 = 10 см. S = 10²√3/4 = 25√3 см². Периметр измеряется в сантиметрах, площадь — в квадратных сантиметрах.
Как заметить ошибку до вычислений
Высота равностороннего треугольника меньше стороны: h/a = √3/2, примерно 0,866. Радиус описанной окружности больше радиуса вписанной ровно вдвое. При увеличении стороны в два раза все линейные размеры увеличиваются в два раза, а площадь — в четыре. Эти соотношения помогают проверить ответ без повторения всех действий.
Не путайте равносторонний треугольник с равнобедренным, у которого равны лишь две стороны: формулы через единственную сторону a к нему обычно не подходят. Начинайте с условия и рисунка. Если задан только один угол 60°, этого ещё недостаточно для вывода о равенстве трёх сторон. Достаточно двух углов по 60°: третий тогда также равен 60°.