Если коротко. Показательное уравнение содержит неизвестную в показателе степени. Сначала упрощают степени и пытаются получить одинаковое основание; затем применяют вынесение общего множителя, замену t = aˣ (t > 0) или логарифмирование.
Что нужно знать перед решением. Материал рассчитан на 10–11 класс. Для первых трёх методов нужны свойства степеней, решение линейных и квадратных уравнений и разложение на множители. Полезно повторить показательную функцию. Свойства логарифмов понадобятся только для четвёртого метода: его можно отложить, если логарифмы ещё не изучены.
Что такое показательное уравнение
В показательном уравнении неизвестная входит в показатель степени, например 2ˣ = 8. Для действительной показательной функции основание постоянно и удовлетворяет условиям a > 0, a ≠ 1. При этих условиях aˣ всегда положительно и функция строго монотонна.
Запись 2^x означает 2ˣ, а 3^(2x−1) — степень тройки с показателем 2x − 1. Скобки показывают весь показатель. «Строго монотонна» означает: при увеличении x функция только возрастает, если a > 1, или только убывает, если 0 < a < 1. Поэтому одно и то же значение она не принимает при разных x.
Как выбрать метод
- Упростите степени: используйте aᵐaⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ и aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
- Попробуйте привести обе части к одному основанию.
- Если есть сумма степеней, вынесите наименьшую степень.
- Если встречаются a²ˣ и aˣ, сделайте замену t = aˣ, обязательно t > 0.
- Если одинаковое основание получить нельзя, а обе части положительны, примените логарифм.
- Проверьте корни в исходном уравнении.
Метод 1. Одинаковые основания
Если a^f(x) = a^g(x), где a > 0 и a ≠ 1, то f(x) = g(x). Например, 3^(2x−1) = 27 = 3³. Поэтому 2x − 1 = 3, откуда x = 2.
Нельзя просто приравнять показатели у 2ˣ = 3^(x−1): основания различаются.
Метод 2. Вынесение общего множителя
Решим 2ˣ + 2^(x+1) = 24. Так как 2^(x+1) = 2 · 2ˣ, получаем 2ˣ(1 + 2) = 24. Значит, 2ˣ = 8 = 2³ и x = 3.
Степень 2ˣ не равна нулю, поэтому деление на неё допустимо. Это важно проговаривать, а не делить автоматически на произвольное выражение.
Метод 3. Замена переменной
Решим 4ˣ − 5·2ˣ + 4 = 0. Поскольку 4ˣ = (2ˣ)², положим t = 2ˣ, где t > 0. Получаем t² − 5t + 4 = 0, то есть (t − 1)(t − 4) = 0. Тогда t = 1 или t = 4. Возвращаемся: 2ˣ = 1 даёт x = 0, а 2ˣ = 4 даёт x = 2. Ответ: 0 и 2.
Метод 4. Логарифмирование
Для 5ˣ = 12 одинаковое удобное основание не появляется. Обе части положительны, поэтому ln(5ˣ) = ln 12, откуда x ln 5 = ln 12 и x = ln 12 / ln 5. Это точный ответ; десятичное приближение нужно только по условию.
Когда решений нет
Уравнение 2ˣ = −4 не имеет действительных решений, потому что 2ˣ > 0 при любом действительном x. Отрицательный показатель допустим: 2⁻² = 1/4. Положительность значения не означает положительность самого показателя.
Частые ошибки
- приравнивают показатели у степеней с разными основаниями.
- делят на выражение, которое может быть нулём, не проверив это.
- после замены допускают t ≤ 0, хотя t = aˣ > 0.
- логарифмируют отрицательную или нулевую часть.
- забывают вернуться от t к x.
Приведение к одному основанию
Основания не обязаны совпадать сразу. В уравнении 8^(x−1) = 4^(2x+1) заменим 8 на 2³, а 4 на 2². Получаем 2^(3x−3) = 2^(4x+2), поэтому 3x − 3 = 4x + 2 и x = −5. Подстановка подтверждает равенство показателей: обе части становятся степенью 2⁻¹⁸.
Уравнения с дробным основанием
Правило приравнивания показателей работает и при 0 < a < 1, потому что функция всё равно строго монотонна, только убывает. Например, (1/3)^(2x) = (1/3)^(x+4) даёт 2x = x + 4, откуда x = 4.
Замена и отбор корней
Решим 4ˣ + 2ˣ − 2 = 0. После замены t = 2ˣ > 0 получаем t² + t − 2 = 0, то есть (t − 1)(t + 2) = 0. Корни вспомогательного уравнения t = 1 и t = −2, но второй невозможен из-за t > 0. Поэтому 2ˣ = 1 и x = 0.
Равносильность преобразований
При каждом шаге важно понимать, не потерялись ли решения и не появились ли лишние. Замена основания на равную степень и приравнивание показателей при допустимом основании равносильны. Деление требует ненулевого делителя. Логарифмирование требует положительности обеих частей. Финальная подстановка проверяет вычисления, но условия лучше контролировать на каждом шаге.
Как оформлять решение
- Запишите условия для основания или положительность степени, если они существенны.
- Назовите преобразование: приведение к основанию, вынесение множителя, замена или логарифмирование.
- Решите полученное алгебраическое уравнение.
- Выполните обратную замену и отбор.
- Запишите ответ без преждевременного округления.
Попробуйте сами
Задача 1. Решите 7^(x−2) = 49.
Метод, шаг и ответ
Одинаковое основание. 49 = 7², поэтому x − 2 = 2 и x = 4. Если вы пытались приравнять 7 и 49, сначала представьте обе части как степени одного основания.
Задача 2. Решите 3^x + 3^(x+1) = 108.
Метод, шаг и ответ
Общий множитель. 3^(x+1) = 3 · 3^x, поэтому 3^x(1 + 3) = 108, 3^x = 27 = 3³ и x = 3. Складывать показатели можно при умножении степеней, но не при их сложении.
Задача 3. Решите 9^x − 10·3^x + 9 = 0.
Метод, шаг и ответ
Замена. Пусть t = 3^x > 0, тогда 9^x = t². Получаем t² − 10t + 9 = 0, откуда t = 1 или 9. Обратная замена даёт x = 0 или x = 2. Не забудьте вернуться от t к x.
Задача 4. Решите 2^x = −4.
Проверка условия и ответ
При любом действительном x значение 2^x положительно, поэтому оно не равно −4. Действительных решений нет. Здесь вычисления не нужны: ошибка возникает, если логарифмировать отрицательную правую часть.
Часто задаваемые вопросы
Всегда ли нужен логарифм?
Нет. Сначала ищите одинаковое основание, общий множитель или квадратное уравнение относительно aˣ. Логарифм полезен, когда более простое преобразование не работает.
Почему t = aˣ только положительно?
При a > 0 любая действительная степень aˣ положительна. Поэтому неположительные корни вспомогательного уравнения нужно отбросить.
Что изучать дальше
Повторите показательную функцию и свойства логарифмов.
Посмотреть раздел программы STEMskills о степенях и корнях. Состав доступных материалов уточняйте на странице программы.