Среднее гармоническое двух положительных чисел a и b равно H = 2ab/(a + b). Оно даёт среднюю скорость на двух равных по длине участках: при 60 и 30 км/ч получится 40 км/ч. Если равны времена движения, используют среднее арифметическое, а не гармоническое.
Вы едете на дачу: туда — 60 км/ч, обратно тем же маршрутом — 30 км/ч. Длины пути равны, остановок нет. Ответ 45 км/ч, полученный полусуммой, не подходит: медленнее вы едете дольше. Ниже вычислим путь и время отдельно и увидим, откуда берётся 40 км/ч.
Среднее гармоническое двух положительных чисел — это дробь, у которой сверху стоит удвоенное произведение чисел, а снизу — их сумма: для 30 и 60 это 2·30·60 : (30 + 60) = 40. В прикладной задаче сначала выясняют, что одинаково: расстояния, потраченные суммы или объёмы работы. Одних единиц «км/ч» либо «руб./шт.» для выбора среднего недостаточно.
Для равных расстояний усредняют скорости гармонически, для равных промежутков времени — арифметически. Так же средняя цена при равных тратах равна гармоническому среднему цен, а при равном количестве купленных предметов — арифметическому. Проверяйте условие, а не только название величины.
Название связано с музыкальными отношениями, которые изучали ещё в античности. Для одинаковых по натяжению и линейной плотности струн частота обратно пропорциональна длине. Гармоническое среднее длин 6 и 12 равно 8: пары 6 и 12, 6 и 8, 8 и 12 соответствуют октаве, кварте и квинте. Это пример связи средних с музыкой, а не правило выбора среднего в любой задаче.
Почему средняя скорость — это не полусумма?
Средняя путевая скорость — это весь путь, делённый на всё время. На равных по длине участках медленная часть занимает больше времени, поэтому полусумма скоростей не подходит. На участках произвольной длины s₁ и s₂ при скоростях v₁ и v₂ считают (s₁ + s₂)/(s₁/v₁ + s₂/v₂). Разберём случай равных расстояний.
Пусть в одну сторону 60 км. Туда на 60 км/ч вы едете 1 час, обратно на 30 км/ч — целых 2 часа. Всего пройдено 120 км за 3 часа, значит средняя скорость 120 : 3 = 40 км/ч. Медленный участок отнял вдвое больше времени, поэтому итог ближе к 30, а не ровно посередине. Полусумма (60 + 30) : 2 = 45 честной поездке не соответствует.
Как считать среднее гармоническое: формула
Для двух положительных чисел a и b формула короткая:
H = 2ab : (a + b).
Подставим наши скорости: H = 2 · 60 · 30 : (60 + 30) = 3600 : 90 = 40. Тот самый ответ, что мы получили «вручную» через путь и время, — и это не совпадение. Средняя скорость на равных участках всегда равна гармоническому среднему скоростей.
Для n положительных чисел усредняют их обратные величины (единицу, делённую на число), а затем берут обратное к результату: H = n : (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ). Здесь n — количество значений, а индексы нумеруют их. Например, обратная скорость имеет смысл времени на единицу пути. При xᵢ = 0 выражение 1/xᵢ не определено, поэтому в этой формуле все исходные значения должны быть положительными.
Чем гармоническое среднее отличается от арифметического и геометрического?
У любых двух положительных чисел есть три классических средних. Они подчиняются неравенству H ≤ G ≤ A, причём при одинаковых числах все три равны. Сравните на одной шкале для 30 и 60:
- Арифметическое (30 + 60) : 2 = 45 — например, средняя скорость при равных промежутках времени движения со скоростями 30 и 60.
- Геометрическое √(30 · 60) ≈ 42,4 — средний коэффициент двух последовательных изменений с коэффициентами 30 и 60: одинаковый коэффициент должен дать то же произведение.
- Гармоническое 2·30·60 : 90 = 40 — например, средняя скорость на равных расстояниях, пройденных со скоростями 30 и 60.
Правило H ≤ G ≤ A выполняется для любых положительных чисел, и все три совпадают только тогда, когда числа равны между собой. Гармоническое всегда самое маленькое — потому что оно сильнее «прислушивается» к меньшему из чисел.
Где среднее гармоническое применяют в жизни?
Один пример — усреднение цены при равных тратах. Представьте две покупки акций на одинаковую сумму: сначала по 30 рублей, потом по 60. На 6000 рублей в первый раз куплено 200 акций, во второй — 100. Итого 300 акций за 12000 рублей: средняя цена 40 рублей за штуку, то есть гармоническое среднее, не 45. Здесь не учитываем комиссии и допускаем нужное количество акций. Это арифметическая модель средней цены, а не рекомендация покупать активы: низкая средняя цена сама по себе не гарантирует прибыли.
Похожие дроби встречаются в технике, но не всегда дают именно среднее. Для двух параллельных резисторов R = R₁R₂/(R₁ + R₂), то есть половина гармонического среднего их сопротивлений. Производительности двух одновременно работающих насосов складываются. Если каждый отдельно наполняет бассейн за t₁ и t₂, совместное время равно t₁t₂/(t₁ + t₂), снова половина гармонического среднего времён. Для расхода топлива в литрах на 100 км на равных расстояниях, напротив, подходит арифметическое среднее. Сначала составьте отношение общих величин, затем узнавайте формулу.
Задачи для самопроверки
Задача 1. Найдите среднее гармоническое чисел 3 и 6.
Показать решение
По формуле H = 2ab : (a + b) = 2 · 3 · 6 : (3 + 6) = 36 : 9 = 4. Проверим порядок: арифметическое равно 4,5, геометрическое √18 ≈ 4,24, гармоническое 4 — самое маленькое, как и положено. Ответ: 4.
Задача 2. Велосипедист ехал в горку 10 км/ч, а с горки тот же путь — 15 км/ч. Какова средняя скорость?
Показать решение
Участки равны по длине, поэтому берём гармоническое среднее скоростей: H = 2 · 10 · 15 : (10 + 15) = 300 : 25 = 12 км/ч. Не 12,5 (полусумма), а именно 12: в горку велосипедист провёл больше времени, и оно перетянуло среднее вниз. Ответ: 12 км/ч.
Задача 3. Инвестор купил акции на 4000 рублей по 20 рублей и ещё на 4000 рублей по 80 рублей. Какова средняя цена акции?
Показать решение
Суммы одинаковы, значит цена усредняется гармонически: H = 2 · 20 · 80 : (20 + 80) = 3200 : 100 = 32 рубля. Проверка: за 4000 рублей по 20 куплено 200 акций, по 80 — 50 акций; всего 250 акций за 8000 рублей, 8000 : 250 = 32. Ответ: 32 рубля, а не 50.
Откуда взялось название «гармоническое»?
Ниточка тянется к античной теории музыкальных отношений. Арифметическое, геометрическое и гармоническое средние рассматривали вместе. В сохранившемся фрагменте Архита это среднее названо также «подпротивным»; рядом используется название «гармоническое». Для чисел 6 и 12 гармоническое среднее равно 8, а арифметическое — 9. Отношения 8/6 = 4/3 и 12/8 = 3/2 соответствуют кварте и квинте; крайние длины 6 и 12 дают октаву. Для сравнения струн нужно сохранять их натяжение и линейную плотность. Так числовая формула связывается с музыкальными интервалами, но не утверждает, что любые две струны с такими длинами обязательно звучат одинаково.
Почему гармоническое среднее не больше остальных?
Гармоническое среднее чувствительно к малым положительным числам: обратная величина 1/x при малом x становится большой. На участке фиксированной ненулевой длины скорость, стремящаяся к нулю, делает время движения очень большим, а среднюю скорость всей поездки — малой. Но стоянка не является участком с равным пройденным расстоянием: её время просто добавляют к общему времени. Например, после 120 км за 3 часа час стоянки уменьшит среднюю скорость до 120/(3 + 1) = 30 км/ч. Подставлять нулевую скорость в формулу с 1/v нельзя.
Частые вопросы
Что такое среднее гармоническое простыми словами?
Для положительных a и b это H = 2ab/(a + b). Например, для 30 и 60 получаем 40. Оно даёт среднюю скорость на равных расстояниях или среднюю цену при равных тратах. Само наличие скорости или цены в задаче ещё не означает, что нужна эта формула.
Как найти среднее гармоническое двух чисел?
Перемножьте числа, результат удвойте и разделите на их сумму: H = 2ab : (a + b). Для 3 и 6 получаем 2 · 3 · 6 : 9 = 4. Для нескольких чисел усредняют обратные величины: H = n : (1/x₁ + … + 1/xₙ). Формула проще, чем выглядит.
Чем среднее гармоническое отличается от арифметического?
Для скоростей арифметическое среднее подходит при равных временах, гармоническое — при равных расстояниях. Для положительных чисел H ≤ A: у 30 и 60 получаем 40 против 45. Эти два средних совпадают только при равенстве исходных чисел.
Когда среднюю скорость считают через гармоническое среднее?
Когда участки пути равны по длине, а скорости разные. Тогда средняя скорость равна гармоническому среднему скоростей: туда 60, обратно 30 — среднее 40 км/ч. Если же равны не расстояния, а время движения, работает уже обычное арифметическое среднее. Важно, что именно одинаково — путь или время.
Может ли гармоническое среднее быть больше арифметического?
Нет, для положительных чисел это невозможно. Всегда выполняется H ≤ G ≤ A: гармоническое не превосходит геометрическое, а то — арифметическое. Равенство наступает лишь тогда, когда все числа одинаковы. Поэтому гармоническое среднее — всегда самое скромное из трёх.
Выбор среднего начинается с вопроса, какие величины меняются вместе и что остаётся постоянным. Посмотрите программу курса «Пропорциональное мышление», чтобы выбрать дальнейшее обучение.