Периодическая дробь — это бесконечная десятичная запись, в которой начиная с некоторого разряда повторяется один и тот же блок цифр. Например, 1/3 = 0,(3), а 1/7 = 0,(142857). Скобки обозначают бесконечное повторение блока.
Реальный калькулятор показывает лишь конечное количество цифр; периодическая запись описывает число точно и не ограничена размером дисплея.
Повторяющуюся часть называют периодом: 0,(3) означает 0,333…, а 0,(142857) —0,142857142857… Период может начинаться не сразу после запятой: в 0,1(6) сначала стоит 1, затем бесконечно повторяется 6. При делении столбиком повторение остатка объясняет повторение цифр. Поэтому бесконечный хвост не нужно выписывать целиком: достаточно указать начальные разряды и один период.
Почему при делении появляется бесконечный хвост?
Когда мы делим уголком, на каждом шаге получаем остаток. Если остаток становится нулём — деление закончилось, дробь конечная. Но иногда остаток начинает повторяться, и тогда повторяются и цифры в ответе. Посмотрите на деление 1 на 3: остаток всё время равен единице, поэтому в частном бесконечно выходит тройка.
При делении на число n остаток всегда меньше n, то есть вариантов остатка конечное число. Рано или поздно какой-то остаток повторится — и с этого места вся картинка пойдёт по кругу. Именно поэтому у любой обыкновенной дроби десятичная запись либо обрывается, либо становится периодической. Третьего не дано.
Что такое период и как его записывают?
Период — это та самая группа цифр, которая повторяется. Её пишут один раз и берут в скобки. Например, 0,777… = 0,(7), а 0,454545… = 0,(45). Если между запятой и периодом есть цифры, которые не повторяются, дробь называют смешанной периодической: 0,1(6) — это 0,16666…, где повторяется только шестёрка, а единица стоит отдельно.
Дробь 1/7 = 0,(142857) — знаменитая «циклическая». Умножьте её период 142857 на 2, 3, 4, 5 или 6 — получите те же самые цифры, просто сдвинутые по кругу: 285714, 428571, 571428… А 142857 × 7 = 999999.
Пример из жизни: делим пиццу на троих
Представьте, что трое друзей делят одну пиццу поровну: каждому достаётся ровно 1/3. Записи 1/3 и 0,(3) обозначают одно и то же число и одинаково точны. Конечная запись 0,333 — уже приближение: она меньше трети на 1/3000. Разность вычисляется точно: 1/3 − 333/1000 = 1/3000; добавление ещё одной тройки уменьшит её в десять раз. Разрезав пиццу на три равные части, мы реализуем точную долю в модели, не выписывая бесконечные тройки. Калькулятор же отображает ограниченное число разрядов, поэтому важно отличать период в скобках от округлённого результата на экране.
Какие дроби превращаются в периодические?
Есть простое правило. Сократите дробь до конца и посмотрите на знаменатель. Если в его разложение на простые множители входят только двойки и пятёрки — десятичная дробь будет конечной. Если есть хотя бы один другой множитель (3, 7, 11 и так далее) — дробь получится периодической.
Почему именно 2 и 5? Потому что наша система счёта десятичная, а 10 = 2 × 5. Дробь становится конечной, когда её знаменатель можно превратить в 10, 100, 1000 и так далее. Например, 7/20: знаменатель 20 = 2 × 2 × 5, умножаем числитель и знаменатель на 5 и получаем 35/100 = 0,35. А вот у 1/3 знаменатель 3 в десятку никак не превратить — отсюда и бесконечный период.
Как перевести периодическую дробь в обыкновенную?
Периодическую дробь всегда можно вернуть в вид обыкновенной. Следующие правила вычисляют дробную часть положительного числа: сначала отделите целую часть, а затем прибавьте её к полученной дроби. Для чистой периодической дроби (период начинается сразу после запятой) правило короткое: в числителе пишем период, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде. Например, 2,(45) = 2 + 45/99 = 2 + 5/11 = 27/11. Для отрицательного числа сначала переводят его модуль, затем возвращают знак минус.
- 0,(3) = 3/9 = 1/3
- 0,(45) = 45/99 = 5/11
- 0,(09) = 9/99 = 1/11
Для дробной части смешанной периодической дроби формула чуть длиннее. В числитель ставим разность: число, записанное цифрами после запятой до конца первого периода, минус число, записанное цифрами до периода. В знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей после них, сколько цифр стоит между запятой и периодом. Например, 0,1(6) = (16 − 1) / 90 = 15/90 = 1/6. Проверка: 1/6 = 0,16666… — всё сходится. Отделённую целую часть прибавляют к этому результату.
Где встречаются периодические дроби у взрослых?
На практике разделение 100 рублей на троих даёт 100/3 = 33,(3) рубля. Если каждому выделить по 33,33, сумма будет 99,99 рубля: одна копейка останется нераспределённой, а не исчезнет. Один из возможных способов сохранить общую сумму —33,34 +33,33 +33,33 =100. Это пример правила распределения остатка, не описание поведения любой кассы. В расчётах заранее выбирают точность и способ округления; математическая дробь при этом остаётся точной, а округляются только её конечные представления.
Задачи для самопроверки
Попробуйте решить сами, а потом откройте решение.
Задача 1. Переведите 0,(6) в обыкновенную дробь.
Период — цифра 6, значит 0,(6) = 6/9 = 2/3. Проверка: 2 : 3 = 0,6666…
Задача 2. Будет ли дробь 3/8 периодической?
Знаменатель 8 = 2 × 2 × 2 — только двойки, других множителей нет. Значит, дробь конечная: 3/8 = 0,375.
Задача 3. Переведите 0,2(3) в обыкновенную дробь.
По правилу для смешанной дроби: (23 − 2) / 90 = 21/90 = 7/30. Проверка: 7 : 30 = 0,23333…
Удивительный финал: почему 0,(9) равно 1
Самое неожиданное про периодические дроби: запись 0,(9) — это не «почти единица», а ровно единица. Проверим нашим же правилом: 0,(9) = 9/9 = 1. Можно и по-другому: 1/3 = 0,(3), умножим обе части на 3 и получим 1 = 0,(9). Оказывается, у одного и того же числа бывает две десятичные записи — и бесконечный период здесь не ошибка, а честная математика.
Частые вопросы о периодических дробях
Что такое период десятичной дроби?
Период — это группа цифр после запятой, которая повторяется без конца. Её записывают один раз и берут в скобки. Например, в дроби 0,(45) = 0,454545… периодом является блок «45». Всё, что бесконечно повторяется в одном порядке, и есть период дроби.
Как обозначается периодическая дробь?
Повторяющуюся часть заключают в круглые скобки. Так, 0,333… пишут как 0,(3), а 0,16666… — как 0,1(6), где в скобках только повторяющаяся шестёрка. Скобки заменяют бесконечное «и так далее» и делают запись короткой и точной.
Как перевести периодическую дробь в обыкновенную?
Сначала отделите целую часть положительного числа; правила ниже переводят только дробную часть. Для чистой дроби в числитель ставят период, в знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде. Например, 0,(3) = 3/9 = 1/3. Для смешанной дроби из числа, записанного цифрами после запятой до конца первого периода, вычитают число до периода, а в знаменателе к девяткам добавляют нули. Затем прибавляют целую часть: 2,(45) = 2 + 45/99 = 27/11. У отрицательного числа так переводят модуль и возвращают минус.
Какая дробь будет конечной, а какая периодической?
Сократите дробь и разложите знаменатель на множители. Если там только двойки и пятёрки — дробь конечная (например, 1/4 = 0,25). Если есть другой множитель, например 3 или 7, — дробь будет периодической (1/3 = 0,(3), 1/7 = 0,(142857)).
Правда ли, что 0,(9) равно 1?
Да, это точное равенство, а не приближение. По правилу перевода 0,(9) = 9/9 = 1. Проще говоря, у числа 1 есть две десятичные записи: обычная «1» и бесконечная «0,(9)». Обе обозначают одно и то же число.
Проверьте себя
Переведите 0,(3) в дробь.
0,(3)=1/3.
Переведите 0,(12) в дробь.
x=0,1212…, 100x-x=12, значит x=12/99=4/33.
Рациональна ли периодическая дробь?
Да, любую периодическую дробь можно записать обыкновенной дробью.