Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. Например, 1/2=2/4=4/8. Части записаны по-разному, но каждая дробь обозначает половину целого.
У правила есть два обязательных ограничения. Знаменатель исходной дроби не равен нулю, потому что делить на ноль нельзя. Общий множитель тоже не равен нулю: иначе новый знаменатель стал бы нулём. Изменять нужно оба числа дроби одним и тем же действием.
Почему равные дроби выглядят по-разному
Представьте три одинаковые полоски шоколада. Первую разделили на 2 равные части и взяли 1 часть. Вторую разделили на 4 части и взяли 2. Третью — на 8 частей и взяли 4. Количество шоколада не изменилось: менялся только размер кусочка и число выбранных кусочков.
В общей записи это выглядит так: a/b=(a·k)/(b·k), где b≠0 и k≠0. Умножение числителя и знаменателя на k называют расширением дроби. Обратное действие — деление обоих чисел на общий делитель — называют сокращением.
Как расширить дробь
Расширение нужно, когда требуется новый знаменатель, общий знаменатель для нескольких дробей или удобная форма записи. Рассмотрим 3/5. Чтобы получить знаменатель 20, выясним, во сколько раз выросло число 5: 20:5=4. Тем же множителем увеличиваем числитель: 3·4=12. Поэтому 3/5=12/20.
| Исходная дробь | Дополнительный множитель | Равная дробь | Проверка |
|---|---|---|---|
| 2/3 | 2 | 4/6 | 2·2 и 3·2 |
| 5/7 | 3 | 15/21 | 5·3 и 7·3 |
| 9/10 | 10 | 90/100 | 9·10 и 10·10 |
Как сократить дробь
Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на общий делитель, больший единицы. Например, у 18 и 24 общий делитель 6. Получаем 18/24=(18:6)/(24:6)=3/4. Значение не поменялось, а запись стала проще.
Если нужно сократить дробь сразу до несократимой, найдите наибольший общий делитель. Для 42/56 это НОД(42,56)=14, поэтому 42/56=3/4. У чисел 3 и 4 нет общего делителя больше единицы: дробь несократимая.
Иногда удобнее сокращать по шагам. Дробь 48/72 можно сначала разделить на 2, получить 24/36, потом снова на 2 — 12/18, затем на 6 — 2/3. Итог тот же, потому что на каждом шаге делили оба числа на один общий делитель.
Как найти пропущенный числитель или знаменатель
В равенстве 5/7=x/21 знаменатель увеличили в 3 раза: 21:7=3. Значит, числитель тоже нужно увеличить втрое: x=5·3=15. Ответ: 5/7=15/21.
В равенстве 18/30=3/x числитель уменьшили в 6 раз: 18:3=6. Знаменатель делим на то же число: x=30:6=5. Получаем 18/30=3/5.
Такой способ надёжнее угадывания: сначала ищем множитель между известными одинаковыми частями дробей, затем применяем его ко второй паре. Перекрёстная проверка даёт те же результаты: для a/b=c/d равенство требует a·d=b·c.
Где основное свойство применяется дальше
- Общий знаменатель. Дроби 1/3 и 1/4 заменяют равными 4/12 и 3/12.
- Сравнение. После приведения к одному знаменателю видно, что 5/8 больше 3/8.
- Сложение и вычитание. Равные формы позволяют считать части одинакового размера.
- Проценты и десятичные дроби. Например, 3/5=6/10=0,6=60/100=60%.
Если нужно сначала повторить названия частей и виды дробей, откройте материал «Дроби: что это такое». Следующий практический шаг — сравнение дробей, где равные формы помогают привести записи к общему знаменателю.
Четыре частые ошибки
- Меняют только числитель. Из 2/5 нельзя получить 6/5 и назвать дроби равными: значение выросло втрое.
- Используют разные множители. Запись 3/4=6/12 неверна: числитель умножили на 2, знаменатель — на 3. На самом деле 6/12=1/2.
- Умножают на ноль. Тогда знаменатель становится нулём, а такая дробь не определена.
- Сокращают слагаемые. В (6+9)/3 нельзя «зачеркнуть тройку» только у числа 9. Сначала вычислите сумму или вынесите общий множитель: 15/3=5.
Проверьте себя
Задача 1. Запишите три дроби, равные 3/5.
Ответ: 6/10, 9/15 и 12/20. Числитель и знаменатель умножены соответственно на 2, 3 и 4.
Задача 2. Сократите 45/63 до несократимой дроби.
Ответ: 5/7. НОД(45,63)=9, поэтому делим числитель и знаменатель на 9. Деление только на 3 даст 15/21: значение верное, но сокращение ещё не закончено.
Задача 3. Найдите x: 7/9=21/x.
Ответ: x=27. Числитель 7 умножили на 3, поэтому знаменатель 9 тоже умножаем на 3.
Равные дроби понятны. Что изучать дальше?
Посмотрите программу курса «Введение в дроби»: от смысла части целого к сравнению дробей. На странице курса можно выбрать дальнейшее обучение и перейти к регистрации.